Disuguaglianza #1

[Eleven]

Siano $ x,y,z \in \mathbb{R}^+ $ tali che $xyz=1$. Dimostra che $ \dfrac{x^4}{(1+y)(1+z)(y+z)}+\dfrac{y^4}{(1+z)(1+x)(z+x)}+\dfrac{z^4}{(1+x)(1+y)(x+y)} \geq \dfrac{3}{8} $

[Eleven]

Hint:

Testo nascosto:

Usa la disuguaglianza AM-GM per avere $ \dfrac{x^4}{(1+y)(1+z)(y+z)} + \dfrac{1+y}{16} + \dfrac{1+z}{16} + \dfrac{y+z}{16} \geq \dfrac{x}{2} $

[Mr. Mojo]

Sommo ad ambo i membri

$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{x+y}{16}+\sum_{cyc} \frac{2x+2}{16} $

e utilizzando l'Hintone ho che

$ \displaystyle LHS \ge \frac{x+y+z}{2} \ge RHS=\frac{x+y+z+3}{4} $

Se dimostro l'ultima proposizione il problema è concluso.

Riscrivendo si ha che

$ \displaystyle x+y+z \ge 3 $

il che è vero per AM-GM.

[spugna]

E pensare che con Holder non era neanche tanto difficile... se penso a tutto il tempo che ho perso ostinandomi a trovare una soluzione senza leggere l'hint, mi mangio le dita...!! Ma dato che sono qua, la mia soluzione è questa:
$\left[ \dfrac{x^4}{(1+y)(1+z)(y+z)}+\dfrac{y^4}{(1+z)(1+x)(z+x)}+\dfrac{z^4}{(1+x)(1+y)(x+y)} \right]^{\dfrac{1}{4}} [(1+y)+(1+z)+(1+x)]^{\dfrac{1}{4}} \cdot$
$\cdot [(1+z)+(1+x)+(1+y)]^{\dfrac{1}{4}} [(y+z)+(z+x)+(x+y)]^{\dfrac{1}{4}} \ge x+y+z$

da cui ricavo, ponendo $s=x+y+z$:

$LHS \ge \dfrac{s^4}{2s(s+3)^2}=\dfrac{s^3}{2(s+3)^2}$

Ora dimostro che $\dfrac{s^3}{2(s+3)^2} \ge \dfrac{3}{8}$

$4s^3 \ge 3s^2+18s+27 \Leftrightarrow 4s^3-3s^2-18s-27 \ge 0 \Leftrightarrow (s-3)(4s^2+9s+9) \ge 0$

Il secondo fattore è sempre positivo, perciò la disuguaglianza è vera se e solo se $s \ge 3$, ma per $AM-GM$ tale condizione è rispettata. C.V.D.

[spugna]

Disuguaglianza #1

C'è anche una disuguaglianza #2...?

[Tess]

Mi pare venga anche con C.S. più qualche conticino con bunching e Schur dopo aver omogeneizzato i pezzi restanti.
Intanto applico C.S. alle terne $ \frac{x^2}{\sqrt{(1+y)(1+z)(y+z)}},\cdots $ e $ \sqrt{(1+y)(1+z)(y+z)},\cdots $, ottenendo $ testo \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum_{cyc}(1+y)(1+z)(y+z)} $, per cui mi rimane da dimostrare che $ 8(x^2+y^2+z^2)^2 \geq 3\sum_{cyc}(1+y)(1+z)(y+z) $, che scritta con le somme simmetriche, ha la forma di $ 4\sum_{sym}x^4+8\sum_{sym}x^2y^2 \geq 3 \sum_{sym}x+3\sum_{sym}xy+3\sum_{sym}x^2+3\sum_{sym}x^2y $.
Per omogeneizzare, moltiplico a destra il primo termine per $ xyz $, secondo e terzo per $ (xyz)^{\frac{2}{3}} $ e il quarto per $ (xyz)^{\frac{1}{3}} $. Ora, usando la scrittura $ [a,b,c] $ per indicare $ \sum_{sym}x^ay^bz^c $, abbiamo: $ 4[4,0,0]+8[2,2,0] \geq 3[2,1,1]+3[1+\frac{2}{3},1+\frac{2}{3},\frac{2}{3}]+3[2+\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}]+3[2+\frac{1}{3},1\frac{1}{3},\frac{1}{3}] $, che è anche abbastanza larga, infatti possiamo usare 6 somme degli $ [2,2,0] $ per battere le prime 2 a destra, poi 2 degli $ [4,0,0] $ per battere quello che si vuole, poi shur si può usare per battere quelle che rimangono col seguente modo:
$ [4,0,0]+[2,2,0] \geq [4,0,0]+[\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}] \geq 2[\frac{8}{3},\frac{4}{3},0] $ la quale ultima somma batte ciascuna delle $ [2+\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}]+[2+\frac{1}{3},1\frac{1}{3},\frac{1}{3}] $.