Triangolo

[Omar93]

Hai un triangolo con angoli $ \alpha $, $ \beta $ ,$ \gamma $ e sai che
$ \cos3\alpha+\cos3\beta+\cos3\gamma=1 $. Dimostra che uno di essi vale 120º.

EDIT: corretto il TeX: messo \cos invece di cos. ma_go

[doiug.8]

$\alpha+\beta+\gamma=\pi$
$\cos3\gamma=\cos3(\pi-\alpha-\beta)=-\cos3(\alpha+\beta)$
$cos3\alpha+\cos3\beta-\cos3(\alpha+\beta)-1=0$
Per le formule di prostaferesi e di duplicazione per il coseno, possiamo scrivere:
$2\cos{3 \over 2}(\alpha+\beta)\cos{3 \over 2}(\alpha-\beta)-2[\cos{3 \over 2}(\alpha+\beta)]^2=0$
$\cos{3 \over 2}(\alpha+\beta)[\cos{3 \over 2}(\alpha-\beta)-\cos{3 \over 2}(\alpha+\beta)]=0$

• $\cos{3 \over 2}(\alpha+\beta)=0 \Rightarrow \alpha+\beta={\pi \over 3} \Rightarrow \gamma={2\pi \over 3}$
• $\cos{3 \over 2}(\alpha-\beta)=\cos{3 \over 2}(\alpha+\beta) \Rightarrow \alpha={2\pi \over 3} \vee \beta={2\pi \over 3}$