Triangolo di perimetro minimo

[nanneds]

Dato un rettangolo qualsiasi, scegliamo due punti A e B (strettamente interni ad esso). Se AB è la base di un triangolo ABC, con C che sta su uno dei lati del rettangolo, come deve essere scelto C affinché il perimetro sia il minore possibile?

Aiutoooo gente non riesco ad arrivarci!!

[Anér]

Suppongo che C debba essere sul perimetro del rettangolo, dunque su uno dei quattro lati. Allora ti basta trovare (se esiste) il C minimo per ognuno dei quattro lati e poi fare ancora il minimo. Il problema diventa sostanzialmente di trovare C su una retta in modo da minimizzare AC+BC (il terzo lato AB è costante), sapendo che A e B sono dalla stessa parte rispetto alla retta.

Testo nascosto:

Se A e B stessero invece da parti diverse il problema sarebbe più semplice; riesci a ricondurti a questo caso, prendendo altri punti in qualche modo equivalenti ad A e B?

[nanneds]

Si Anér, hai centrato il problema nel problema. Ma come risolverlo? (ci dovrebbe essere una spiegazione geometrica)

Testo nascosto:

Se A e B stessero invece da parti diverse il problema sarebbe più semplice; riesci a ricondurti a questo caso, prendendo altri punti in qualche modo equivalenti ad A e B?

In che senso "da parti diverse"? Ripeto, sono tutti e due interni al rettangolo e non appartenenti ai suoi lati. Solo C lo è.

[karlosson_sul_tetto]

Intende dire che si crea un altro problema che aiuta a capire la soluzione del primo: abbiamo una retta e due punti A e B da parti opposte ad essa. Trovare un punto C sulla retta tale che AC +BC sia il minore possibile

[nanneds]

il testo del problema è chiaro. La situazione non è di quel tipo. i due punti A e B stanno dalla stessa parte della retta (che è uno dei quattro lati del rett)

[Anér]

Il mio consiglio è di risolvere prima il mio problema più sempllice e poi il tuo problema più difficile.

[andreac]

mah, "barando" (non l'ho risolto con compasso, stecca e squadra) mi viene fuori che C ha ascissa (o ordinata) la media delle ascisse (o ordinate) di A e B

[Anér]

Ricontrolla un po', la media funziona solo quando A e B hanno la stessa distanza dalla retta.

[zeitgeist505]

Analiticamente è facile ma bisogna fare una marea di calcoli....

[Anér]

Secondo me non vale la pena di farlo analiticamente, darò un consiglio per una soluzione molto semplice.

Testo nascosto:

Abbiamo detto che se A e B sono da parti opposte rispetto a una retta s è facile trovare C sulla retta che minimizza AC+BC. È davvero facile? Chi è in questo caso C?
Dato però che A eB sono dalla stessa parte rispetto a s, sarebbe comodo far "saltare" uno dei due punti, ad esempio B, oltre la retta, sostituendolo con un opportuno B'. Quale sarà una utile scelta di B', sapendo che poi dovremo calcolare le distanze di B' dai punti di s?

[andreac]

Ricontrolla un po', la media funziona solo quando A e B hanno la stessa distanza dalla retta.

Perché? io mi ritrovo con una:

$ f(x) = 2x^2 - 2(x_{a}+x_{b}) + k $
o con analoga in y, a seconda dei casi che si scelga C su uno dei lati orizzontali (in x) o verticali (in y)

e quindi vertice (o minimo) in
$ x = x_{c} = \frac{x_{a}+x_{b}}{2} $

EDIT: beati gli orbi.

[Anér]

Penso che tu stia cercando di minimizzare $AC^2+BC^2$ e non $AC+BC$.