Parte intera e potenze di due

[Sonner]

Mostrare che la successione $\displaystyle [{n\sqrt{2}}]$ (n naturale) contiene infinite potenze di 2.

[Leonida]

Intendi la parte intera superiore?

[Sonner]

Nono la parte intera normale, quella inferiore

[Leonida]

Ok, grazie del chiarimento

La tesi è equivalente a dimostrare che, per infiniti $n$, esiste $k$ intero tale che $2^{k} < n \sqrt{2} < 2^{k} +1$.
Prendo $n= \left\lceil 2^{k-1}\cdot \sqrt{2}\right\rceil$ , con $k$ intero positivo. Sicuramente vale $\displaystyle n \sqrt{2} \geq (2^{k-1}\cdot \sqrt{2})\cdot \sqrt{2} = 2^{k}$ per come è definita la parte intera superiore. Ora trovo le condizioni affinchè valga anche l'altra disuguaglianza (con $\left\{ n \right\}$ indico la parte frazionaria di $n$):


$\displaystyle \left\lceil 2^{k-1}\cdot \sqrt{2}\right\rceil \cdot \sqrt{2} < 2^{k} +1$

$\displaystyle \left\lceil (\sqrt{2})^{2k-1} \right\rceil < (\sqrt{2})^{2k -1} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle (\sqrt{2})^{2k-1} +1 - \left\{ \sqrt{2})^{2k-1}\right\} < (\sqrt{2})^{2k -1} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle 1- \frac{1}{\sqrt{2}} < \left\{ \sqrt{2})^{2k-1}\right\}$

Chiamo ora $a_{k} = \sqrt{2}^{2k-1}$. Resta da dimostrare che per infiniti interi $k$ vale $\displaystyle \left\{ a_{k} \right\} > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$. Ovviamente $a_{k}$ non è mai intero, perciò $\displaystyle \left\{ a_{k} \right\} \neq 0$; inoltre $\displaystyle a_{k+1}= 2a_{k} \rightarrow \left\{ a_{k+1} \right\}= 2\left\{ a_{k} \right\}$ se $\displaystyle \left\{ a_{k} \right\} < \frac{1}{2}$.
Per assurdo suppongo che siano in numero finito e considero il più grande di essi, $M$ tale che $\displaystyle \left\{ a_{M} \right\} > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Detta $\displaystyle \epsilon = \left\{ a_{M+1} \right\}$, deve valere $\displaystyle 0 < \epsilon < 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ ma mi basta scegliere $A$ intero grande a piacere in modo che $\displaystyle 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} < 2^{A}\cdot \epsilon < 1$. E questo è un assurdo perchè $\displaystyle 2^{A}\cdot \epsilon = 2^{A}\cdot \left\{ a_{M+1} \right\} = \left\{a_{M +1 +A} \right\}$, ne ho trovato uno più grande di quello che avevo supposto essere il maggiore.
Se invece per qualche $k > M$ trovo $\displaystyle \left\{ a_{k} \right\} > \frac{1}{2}$ ho comunque ottenuto un assurdo perchè $\displaystyle \left\{ a_{k} \right\} > \frac{1}{2} > 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ e si conclude come prima.

[Sonner]

Controlla l'ultima parte, in particolare stai usando

Ok, grazie del chiarimento

$\displaystyle a_{k+1}= 2a_{k} \rightarrow \left\{ a_{k+1} \right\}= 2\left\{ a_{k} \right\}$

che però è falso se $\{a_k\}>\frac{1}{2}$

[Leonida]

Hai ragione, provo a sistemarla ora!