Angoli notevoli

[pepperoma]

I è l'incentro e O il circocentro del triangolo ABC. Sapendo che le ampiezze degli angoli AIO e CIO sono rispettivamente 90° e 45°. Calcolare il rapporto AB:BC:CA.

[Karl Zsigmondy]

Si ha che $ AIC=180-IAC-ICA=180-\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2}=90+\frac{\beta}{2} $. Dato che AIO=90° ho che O è interno al triangolo AIC oppure è esterno al triangolo ABC (in quel caso $ \beta > 90 $ oppure ABC è rettangolo.
CASO 1: O interno al triangolo AIC.
$ AOI=180-AIO-IAO=180-90-(IAC-OAC)=90-(\frac{\alpha}{2}-(90-\beta))=180-\beta-\frac{\alpha}{2} $
$ COI=180-CIO-ICO=180-45-(ICA-OCA)=135-(\frac{\gamma}{2}-(90-\beta))=225-\beta-\frac{\gamma}{2} $
$ AOC=2\beta $
Ora
$ AOI+COI+AOC=360 \rightarrow 405-\frac{\alpha+\gamma}{2}=360 $ da cui $ \alpha+\gamma=90 $ quindi $ \beta=90 $ (CASO 3).
CASO 2: ABC ottusangolo in B
In questo caso $ 135=AIO+CIO=AIC=90+\frac{\beta}{2} $ da cui $ \beta=90 $ (CASO 3)
CASO 3: ABC rettangolo in B
Sia BC=k e BAC=$ A $. Dato che O è punto medio di AC ho che $ OC=\frac{k}{2 sinA} $. Ma per la similitudine fra OIC e IBC ho che $ OC=\frac{IC^2}{BC}=\frac{k}{2cos^2(\frac{A}{2})} $ (teorema dei seni). Uguagliando le due espressioni ottenute per OC ho che $ cos^2(\frac{A}{2}) = sinA $ da cui (formule di duplicazione del seno) $ tg\frac{A}{2}=1/2 $. Quindi $ tgA=\frac{4}{3} $ da cui arrivo a dire che
$ AB:BC:CA=\frac{4}{3} : 1 : \frac{5}{3} = 4:3:5 $