Poliedro juventino

[karlosson_sul_tetto]

Abbiamo un poliedro convesso bianco con alcune facce dipinte di nero in modo tale che due facce nere non abbiano mai uno spigolo in comune.Dimostrate che se si verifica almeno una delle seguenti affermazioni:
1)le facce nere sono più della metà
2)la superficie delle facce nere costituisce più della metà della superficie del poliedro
in questo poliedro non è possibile inscrivere una sfera

[pepsi]

a me viene una cosa strana, ho provato a costruire un poliedero a caso e ho provato a colorarlo mettendo più facce nere possibili e ho notato che se in un angolo ci sono un numero pari di poligoni che lo compongono al più la metà di quei poligoni possono essere neri, mentre se è composto da un numero dispari di poligoni allora i poligoni neri sono al più in numero minore dei poligoni bianchi, da qui segue che il numero di poligoni neri è $ <= $ di quelli bianchi, per cui la prima domanda non vale (però non ne sono sicuro della mia conclusione su questo fatto), per la seconda domanda se prendo un parallelepipedo sottilissimo (per esempio come un quaderno), taglio in due il parallelepipedo per il lungo (non so come spiegarlo bene il taglio, lo spiego così, se il parallelepipedo lo paragono ad un quaderno apro a metà il quaderno e lo taglio in mezzo) e divido in due la sfera, ora se poggio il mio mezzo parallelepipedo su un piano e penso alla mezza sfera come una coppa posso appoggiarla sopra in modo che i quattro vertici in alto siano tangenti alla sfera e tutto il mezzo parallelepipedo sia interno alla mezza sfera (non mi importa che i quattro spigoli in basso siano tangenti.
Ora costruisco il simmetrico del mezzo parallelepipedo e della mezza sfera rispetto al piano ed ecco che ottengo che il mio parallelepipedo di partenza è iscrivibile nella sfera, ora coloro di nero le due facce grandi ed ecco che la superficie nera è più della metà della superficie bianca eppure il parallelepipedo è iscritto nella sfera, quindi anche la 2 è falsa.

non è una dimostrazione e molto probabilmente ho detto un mucchio di fesserie, però mi sembrava giusto il mio ragionamento

p.s.
per la seconda parte ho scoperto ora che non va bene il ragionamento perchè la mezza sfera quando tocca i vertici del parallelepipedo si blocca e non riesce a toccare il piano, per la prima parte mi è rimasto il dubbio

[karlosson_sul_tetto]

Errore di trascrizione, la sfera dev'essere inscritta nel poliedro, provvedo a correggere.
La prima parte non credo vada bene, perchè se ho capito bene,tu hai fatto le tue osservazioni su un solo poliedro, non l'hai dimostrato per tutti i poliedri. Per la seconda, mi pare bastava scrivere "inscrivo un parallelepipedo a forma di quaderno nella sfera" senza tagli, semisfere ecc.

[pepsi]

Per la seconda, mi pare bastava scrivere "inscrivo un parallelepipedo a forma di quaderno nella sfera" senza tagli, semisfere ecc.

hai ragione