f(n)|2^n-1 con f(.) in Z[x]

[jordan]

Trovare tutti i polinomi f a coefficienti interi tali che $f(n)\mid 2^n-1$ per ogni intero positivo n.

[dario2994]

Risolvo un caso più generale:

Sia $a\in\mathbb{Z}$ tale che $|a|>1$.
Non esistono polinomi non costanti $f,q\in \mathbb{Z[x]}$ tali che $f(n)|q(a^n)$ per ogni $n$ intero positivo sufficientemente grande.

Assumo per assurdo esistano.
Sia $N$ tale che per ogni $n>N$ vale $f(n)|q(a^n)$.
Chiamo $k>N$ un intero positivo tale che $q(a^k)\not=0$ (tale $k$ esiste per le ipotesi $q$ non costante e $|a|>1$).
Dato che $f$ non è costante, per fatto noto esistono infiniti primi che dividono $f(x)$ per qualche $x>N$ intero.
Prendo un primo $p$ e un intero $m>N$ tale che:

• $p\nmid a$
• $p\nmid q(a^k)$
• $p\mid f(m)$

Tale primo esiste dato che le prime 2 condizioni mi impediscono di scegliere un numero finito di primi, ma l'ultima condizione me ne fornisce infiniti.

Per come ho scelto $p$ vale $p|f(m+np)$ per ogni $n$ intero positivo. Ma allora applicando l'ipotesi ho $p|q(a^{m+np})$ ma dato che $p\nmid a$ vale anche $0 \equiv q(a^{m+np})\equiv q(a^{m+n})\pmod p$.
Ora scelgo $n$ tale che $k\equiv m+n\pmod{p-1}$ e ottengo: $0\equiv q(a^{m+n})\equiv q(a^k)\pmod p$ che però è mostra l'assurdo dato che ho scelto $p$ tale che $p\nmid q(a^k)$.

Armato di ciò, questo problema si riduce a dire $f(n)$ costante... ma allora le soluzioni sono solo $\pm 1$.
E invece quest'altro diviene sempre $f(n)$ costante da cui però si trovano le soluzioni $f(n)=\pm 1, \pm 2$.