Qualcosa di geometricamente sorprendente

[jack202]

Visto che il caso generale non ha attirato
<BR>molti visitatori... ecco un qualcosa di
<BR>semplice e geniale :
<BR>
<BR>Se una circonferenza A rotola senza
<BR>strisciare lungo una circonferenza B,
<BR>quale traiettoria descrive un punto
<BR>su A al variare del tempo ?
<BR>
<BR>E se il punto non fosse sulla circonferenza
<BR>ma comunque all\'interno del cerchio A ?

[sprmnt21]

Per la risposta vedere qua:
<BR>
<BR>http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/ ... cloid.html

[BlaisorBlade]

Allora, jack, ma quando ti decidi a postare tu la soluzione al problema generale? Neanche sprmnt21 l\'ha risolto, quindi o mandi un altro messaggio sul topic per farlo salire nella prima pagina o posti direttamente la soluzione.

[ma_go]

Che la curva si chiami epicicloide, credo che lo sappiano tutti gli utenti del sito... la sua formula si può trovare su \"Le curve celebri\" di Cresci, ma diciamo che la spiegazione che (non) ha fornito del modo il cui si trova tale formula non mi è molto piaciuta, ho pensato, da buon (pazzo) matematico, ricavarmela. D\'ora il poi indicherò con r il raggio della circonferenza G \"fissa\", con centro nell\'origine O(0;0), ed equazione G: x^2+y^2=r^2; con r\' il raggio della circonferenza G\' che ruota attorno a G con velocità v*r, e di centro (all\'istante i) C_i((r+r\')*cos(v*i) ;(r+r\')*sen(v*i)); con C_0(r+r\';0) il centro di G\' all\'istante 0; con v la velocità angolare del centro C\' rispetto ad O; con P_i il punto P, fisso rispetto alla circonferenza G\' (avente distanza da C_i pari a d), all\'istante i; per comodità sia P_0 giacente sull\'asse x, e quindi sia P_0(r + r\' - d;0).
<BR>Per trovare l\'equazione (parametrica rispetto al parametro t) dell\'epicicloide è sufficiente trovare la posizione di P_t.
<BR>La velocità angolare di P_i rispetto a C_i sarà dunque (r/r\')*v. Sia P\'_t la proiezione di P_t sull\'asse x, e C\'_t la proiezione di C_t sul segmento [P_t,P\'t]. (D\'ora in poi per chiarezza separerò i punti da un trattino) L\'angolo P\'_t - O - C_t è v*t; quindi l\'angolo C\'_t - C_t - O sarà (Pi - v*t); l\'angolo O - C_t - P_t è (r/r\')*v*t. Si ricava quindi che l\'angolo C\'_t - C_t - P_t è [(r/r\')*v*t + v*t - Pi] = [v*t*(r+r\')/r\'] - Pi.
<BR>Ora si possono ricavare le coordinate di P_t == ((r+r\')*cos(v*t) - d*cos[v*t*(r+r\')/r\']; (r+r\')*sen(v*t) - d*sen[v*t*(r+r\')/r\']. Se non fosse chiaro, protestate... Ciao a tutti!
<BR>
<BR>ps: quale sarebbe il problema generale? <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif"> [addsig]

[BlaisorBlade]

Ritiro la mia richiesta a jack di postare la soluzione. Ci penso io!!! Il problema generale è il seguente:
<BR>Abbiamo una curva chiusa A ed una curva aperta B di cui conosciamo le equazioni.
<BR>Se C è un punto su A, scrivere l\'equazione della traiettoria di C quando A rotola senza strisciare lungo la parte interna/esterna di B.
<BR>Io ho già risolto il problema nel caso in cui C è una circonferenza con certe assunzioni, e l\'ho postata sul forum \"Il problemone del mese\"; (ora è tra i primi, comunque inserisci nella casella di ricerca in basso la parola \"rotola\" e lo trovi tra i risultati)
<BR>penso di averlo risolto nel caso generale, ma voglio controllare ancora(ho scovato già una serie enorme di errori, corretti, quindi aspetto).