Tutti i k tali che $d_9-d_8=22$

[jordan]

Sia S l'insieme degli interi positivi k esprimibili come prodotto di 4 primi distinti (i.e. ognuno di essi ha 16 divisori distinti $1=d_1<d_2<\ldots<d_{16}=k$.

Trovare gli elementi di S minori di 2002 tali che $d_9-d_8=22$

(TST francese 2002 & Nazionali Irlandesi 1995)

[auron95]

Intanto $ d_8d_9=k $, poichè esistono 8 coppie di divisori il cui prodotto è k, e per l'ordinamento $ d_id_j=k\Leftrightarrow i+j=17 $.
Quindi $ k=d_8d_9=d_8^2+22d_8^2<2002 \Rightarrow d_8<36 \Rightarrow d_9<58 $.

Si può notare che $ k $ è dispari (altrimenti $ d_8d_9 $ sarebbe multiplo di 4, assurdo) e per lo stesso motivo non è multiplo di 11.
In più sia d_8 sia d_9 sono prodotti di due primi, infatti se uno dei due fosse il prodotto tra tre o più primi sarebbe certamente maggiore di $ 3\cdot 5\cdot 7=105 $, ma ciò non è possibile $ d_8<d_9<58 $
Sia $ d_8=p_1p_2, p_1<p_2 $.
$ p_2\leq 12 $ perchè $ p_1 $ è almeno 3.

Ci sono quindi 3 primi possibili: 3,5,7 (il 2 e l'11 sono da scartare).

Caso 1: $ d_8=3\cdot 5=15\Rightarrow d_9=37 $ k è il prodotto di tre primi e non 4.
Caso 2: $ d_8=3\cdot 7=21 \Rightarrow d_9=43 $ come sopra.
Caso3: $ d_8=5\cdot 7 = 35 \Rightarrow d_9=57=3\cdot 19 $ questo invece è accettabile.

Quindi l'unica soluzione dovrebbe essere (salvo abbagli) $ k=35\cdot 57=1995 $ (che è anche il mio anno di nascita..... )

[jordan]

[...]e per l'ordinamento $ d_i+d_j=k\Leftrightarrow i+j=17 $.[...]

Dovrebbe essere l'unico abbaglio, ma sono sicuro che e' solo un errore di copiatura

[auron95]

Ovviamente intendevo $ d_id_j=k $
Edito