54. Staffetta disuguaglianze

[petroliopg]

Ringrazio jordan per avermi concesso il testimone

Se $\displaystyle a_1,a_2,...,a_{10}>0$, $\displaystyle a^{2}_1+a^{2}_2+...+a^{2}_{10}=4$, dimostrare :

$\displaystyle \frac{50}{5+\sqrt{10}} \le \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{1+a_k}\le \frac{28}{3}$

[Robertopphneimer]

ma guarda basta che alla sommatoria sostituisci (Edit $ \frac{(a_{10})^2 +(a_{10})} {2} $ e poi si risolve tutto anche se a me non viene l'uguale ma solo il maggiore...

[ant.py]

ma guarda basta che alla sommatoria sostituisci $ \frac{a_10^2 +a_10} {2} $ e poi si risolve tutto anche se a me non viene l'uguale ma solo il maggiore...

In che modo si risolve?

Io per ora ne ho fatto solo metà..

Allora sappiamo che $ Qm (a_1, a_2, \dots, a_{10}) = \frac{\sqrt{10}}{5} $
Quindi il massimo per $ a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = Qm \cdot n = \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot 10 = 2\sqrt{10} $ (questa è Am-Qm)

Ora sappiamo che $ A \ge H $; se la applichiamo ai numeri $ a_1 + 1, a_2 + 1 $ ecc abbiamo

$ (a_1 + a_2 + \dots + a_{10} + 10)(\frac{1}{1+a_1} + \dots + \frac{1}{1+a_{10}}) \ge 100 $ , ovvero

$ \frac{1}{1+a_1} + \dots + \frac{1}{1+a_{10}} \ge \frac{100}{a_1 + a_2 + \dots + a_{10} + 10} $ per quanto abbiamo detto prima il massimo del RHS è $ \frac{100}{2\sqrt{10}+ 10} = \frac{50}{\sqrt{10} + 5} $ e la prima disuguaglianza è dimostrata.. Ora vedo la seconda

[Robertopphneimer]

nono ho sbagliato....ho tentato di fare una cosa con la sommatoria ma misà è a livello IMO quindi meglio le grandi vecchie medie

[Robertopphneimer]

mmmh...ora tocca alla seconda..sembra una media mascherata..

Sempre con $ H \le A $

$ \frac {1}{1+a_1}+\frac {1}{1+a_2}+\frac {1}{1+a_3}+.....+\frac {1}{1+a_{10}} \le 4\sqrt 10 < \frac {28}{3} $

mancherebbe l'uguale...

Edit:piccolo sbaglio nella radice.

[ant.py]

mmmh...ora tocca alla seconda..sembra una media mascherata..

Sempre con $ H \le A $

$ \frac {1}{1+a_1}+\frac {1}{1+a_2}+\frac {1}{1+a_3}+.....+\frac {1}{1+a_{10}} \le \sqrt 10 < \frac {28}{3} $

mancherebbe l'uguale...

Non capisco da dove hai preso questa disuguaglianza

[Robertopphneimer]

Mi spieghi come hai trovato il 100??non riesco a capire..io ho provato ad applicare la QM ad a+1 e prenderla massima con AM-QM...e poi a fare AM-HM ma non mi viene..cioè viene diverso dal tuo e perciò non corretto.

[ant.py]

Se hai

$ A \ge H \Rightarrow \frac{A}{H} \ge 1 \Rightarrow \frac{a_1 + \dots + a_n }{n} \cdot \frac{\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}}{n} \ge 1 $ ovvero $ (a_1 + \dots + a_n )(\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}) \ge n^2 $

Per la seconda parte sono quasi sicuro che la dimostrazione sia cannata, cmq la posto:

La disuguaglianza data è equivalente a

$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{2}{3} $ (basta moltiplicare per -1 e sommare 10)

Ora applichiamo ancora $ A \ge H $, stavolta con i numeri $ \frac{1+a_1}{a_1} $ ecc.

Troviamo che

$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{10}{A} $

Il massimo di A si ottiene quando i vari $ \frac{1+a_k}{a_k} = 1 + \frac{1}{a_k} $ sono tutti uguali fra loro, ovvero $ a_1 = a_2 $ ecc.

In questo caso si ha $ a_1 = a_2 = \dots = a_{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} $ e la media $ A = \frac{1+a_k}{a_k} = \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{2 + \sqrt{10}}{2} $ e quindi

$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{10}{A} \ge \frac{20}{2 + \sqrt{10}} > \frac{2}{3} $

Sono un po' perplesso perche il bound trovato mi sembra troppo distante da quello proposto, e sopratutto perche non sono certo di poter usare le proprieta di A in quel modo.. Cmq mi affido ai vostri pareri critici

[petroliopg]

$\displaystyle \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{20}{2 + \sqrt{10}}$

Moltiplicando ambo i membri per -1 e sommando poi 10:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{10}{\frac{1}{1+a_i}} \le \frac{-20 + 10(2+\sqrt{10})}{2+\sqrt{10}}= \frac {50}{5+\sqrt{10}}$

c'è qualcosa dunque che non quadra come tu vedi...

[jordan]

Per la disuguaglianza di sinistra e' sufficiente HM-AM-QM, in particolare:

$\displaystyle \frac{n}{\sum_i{1+a_i^{-1}}}\le \frac{\sum_i{(1+a_i)}}{n}=1+\frac{\sum_i{a_i}}{n} \le 1+\sqrt{\frac{\sum_i{a_i^2}}{n}}$

Per la disuguaglianza di destra, definiamo $\alpha_i \in (0,\pi)$ tale che $a_i=\tan^2(\alpha_i)$ di modo tale che:
l'ipotesi diventa $\sum_i{\tan^4(\alpha_i)}=4$ e la tesi $\sum_i{\cos^2(\alpha_i)}\le \frac{28}{3}$.

... ora?

[petroliopg]

la hint di jordan porta ad un passo dalla conclusione del problema...

ps. una sostituzione trigonometrica può far comodo in un'altra disequazione che ho postato

[Robertopphneimer]

la hint di jordan porta ad un passo dalla conclusione del problema...

ps. una sostituzione trigonometrica può far comodo in un'altra disequazione che ho postato

Ho provato a sviluppare dall'hint di jordan ma sarà per mia stupidità ma non riesco a fare molto. Il massimo che sono riuscito a fare è:

$ \frac {\sum_{i} a_i} {4 \sum_{i} cos^2( \alpha_i)} \le \frac{28}{3} $.

se sommo a destra ed a sinistra 1 dovrebbe venire :

$ \frac {\sum_{i} a_i+1} { \sum_{i} cos^2( \alpha_i)} \le \frac{(4*28)+3}{3} $.

[petroliopg]

$ \frac {\sum_{i} a_i} {4 \sum_{i} cos^2( \alpha_i)} \le \frac{28}{3} $.

emh, guarda che $ \displaystyle \sum_{i} \frac {1}{1+a_i}= \sum_{i} cos^2( \alpha_i) $ ...
basta che sostituisci in LHS $\displaystyle tg^2{\alpha}$ ed esce fuori la RHS...

[Robertopphneimer]

mmmh...non l'avevo notato lol
Edit : arrivo sempre ad un punto e mi fermo...non so come proseguire(non avrò metodo??)

arrivo fino a :

$ \frac {\sum_{i}1-cos^2(\alpha_i)} {4} \le \frac {28} {3} $

Edit: ps: come scrivo le formule in modo più grande??

[petroliopg]

devi mettere "\displaystyle " all'inizio
ossia...
$ [tex] $\displaystyle o $\displaystyle...