Radici

Wilddiamond · Messaggio da **Wilddiamond** » 01 gen 1970, 01:33

Dire quanto vale la somma sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+......))))
 
 Poi generalizzare a sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+......))))
 
 Buon lavoro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Wd & S
 [addsig]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

chiamiamo y tale quantità: abbiamo che y = y^2 - n.
 da questo si ricava (ricordando che y è positivo) che y = (1+sqrt(1+4n))/2. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 09-10-2003 18:39 ]

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

ricorsione, giusto?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+......))))
 è il limite della successione
 x_j+1=sqrt(n+x_j)
 chiamando l il limite, si avrà
 l^2=n+l
 che corrisponde alla sol di ma_go

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Si\', ma il punto del problema e\' (anche): il limite della successione esiste? Prima di fare questi trucchetti e\' necessario accertarsene...
 (il problema e\' grave, se fosse in una gara valuterei una soluzione cosi\' incompleta al piu\' 2-3 punti)
 ciao!
 
 --federico

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

ah... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 e come si faceva ad accertarsi dell\'esistenza del limite?
 ho una mezza idea, ma x sicurezza...

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

anch\'io avrei un\'idea... sempre con l\'artificio della successione: si dimostra la crescenza, e si suppone che da un certo punto in poi superi il valore trovato come limite. si dimostra quindi che non esiste un minimo, che dovrebbe portare ad un assurdo... uso i condizionali...

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Di solito per dimostrare che una successione ammette limite si dimostra che essa è crescente e che è limitata (cioè che non supera un certo valore).
 In questo caso però viene comodo per via geometrica, è facile infatti dimostrare che lim(2^m*sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...sqrt(2))))), m, +inf)=pi dove ci sono m radici quadrate (basta considerare un quadrato inscritto in una circonferenza e continuare a raddoppiare i lati m-1 volte) da cui si ricava subito che il limite cercato, per n=2, vale 2. Se si vuole trovare la formula generale forse basta invece di raddopiare il numero di lati, moltiplicarlo per n, ma mi sa che le cose si complicano.