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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Wilddiamond
Dire quanto vale la somma sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+......))))
<BR>
<BR>Poi generalizzare a sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+......))))
<BR>
<BR>Buon lavoro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Wd & S
<BR>[addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
chiamiamo y tale quantità: abbiamo che y = y^2 - n.
<BR>da questo si ricava (ricordando che y è positivo) che y = (1+sqrt(1+4n))/2.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 09-10-2003 18:39 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da publiosulpicio
ricorsione, giusto?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+......))))
<BR>è il limite della successione
<BR>x_j+1=sqrt(n+x_j)
<BR>chiamando l il limite, si avrà
<BR>l^2=n+l
<BR>che corrisponde alla sol di ma_go
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da fph
Si\', ma il punto del problema e\' (anche): il limite della successione esiste? Prima di fare questi trucchetti e\' necessario accertarsene...
<BR>(il problema e\' grave, se fosse in una gara valuterei una soluzione cosi\' incompleta al piu\' 2-3 punti)
<BR>ciao!
<BR>
<BR>--federico
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
ah... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>e come si faceva ad accertarsi dell\'esistenza del limite?
<BR>ho una mezza idea, ma x sicurezza...
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
anch\'io avrei un\'idea... sempre con l\'artificio della successione: si dimostra la crescenza, e si suppone che da un certo punto in poi superi il valore trovato come limite. si dimostra quindi che non esiste un minimo, che dovrebbe portare ad un assurdo... uso i condizionali...
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da publiosulpicio
Di solito per dimostrare che una successione ammette limite si dimostra che essa è crescente e che è limitata (cioè che non supera un certo valore).
<BR>In questo caso però viene comodo per via geometrica, è facile infatti dimostrare che lim(2^m*sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...sqrt(2))))), m, +inf)=pi dove ci sono m radici quadrate (basta considerare un quadrato inscritto in una circonferenza e continuare a raddoppiare i lati m-1 volte) da cui si ricava subito che il limite cercato, per n=2, vale 2. Se si vuole trovare la formula generale forse basta invece di raddopiare il numero di lati, moltiplicarlo per n, ma mi sa che le cose si complicano.