[Staffetta 29] Uguaglianza metrica tra ceviane

[dario2994]

Il triangolo $ABC$ è acutangolo. Gli assi di $AB$ e $AC$ incontrano la mediana da $A$ in $W,V$ rispettivamente. Le rette $CV,BW$ si incontrano in $T$. La mediana da $A$ interseca il circocerchio di $ABC$ in $U$. Dimostrare $AU=BT+CT$.

[Ido Bovski]

Dimostro una generalizzazione del tuo enunciato.
Si consideri un generico triangolo $\triangle ABC$. Gli assi $AB$ e $AC$ incontrano una ceviana $AA_0$ in $W$ e $V$ rispettivamente. Detta $\omega$ la circonferenza circoscritta ad $\triangle ABC$, definiamo $U=AA_0\cap\omega\neq A$. Se $T=VC\cap BW$, allora $AU=BT+TC$ (dove i segmenti sono da intendersi orientati e, definiti $X=CV\cap\omega\neq C$ e $Y=BW\cap\omega\neq B$, i segni di $AU$, $XC$, $BY$ uguali).

Lemma 1. $XC=BY$.
Dimostrazione.
$AV\cdot VU=\mbox{pow}_{\omega}(V)=XV\cdot VC$ e, poiché $V$ sta sull'asse di $AB$, $AV=VC$. Pertanto $VU=XV$ e $AU=AV+VU=XV+VC=XC$. Analogamente $AU=BY$, allora $XC=AU=BY$.

Lemma 2. $XT=BT$.
Dimostrazione.
Distinguiamo due casi. Se $BT=TC$, allora $T=V=W$ è il centro di $\omega$ e $XT$, $BT$ sono raggi. Se $BT\neq TC$, allora, poiché $XT\cdot TC=\mbox{pow}_{\omega}(T)=BT\cdot TY$, per lemma 1, $XT/BT=TY/TC=(XT-TY)/(BT-TC)=1$, ovvero $XT=BT$.

Unendo i risultati di lemma 1 e lemma 2, $AU=XC=XT+TC=BT+TC$, come desiderato.

p.s. si può anche dimostrare che se $AA_0$ è mediana allora il punto $T$ è interno a $\omega$
p.p.s. non mi va di rileggere quindi è probabile che abbia scritto qualche cavolata

[dario2994]

Non l'ho letta con attenzione ma i 2 fatti che usi sono veri e le dimostrazioni sembrano verosimili... in ogni caso uguale alla mia
E la tua "generalizzazione" è il problema stesso... avevo scritto usando la mediana giusto per comodità
Quindi a te il prossimo