[tex]2^k+1 \mid q_i^{v_i}-1[/tex] definitivamente

[jordan]

Own. Siano fissati un insieme $ \{q_1,q_2,\ldots,q_n\}:=\mathfrak{P} \subseteq \mathbb{P} $ con $ n\ge 3 $ (non necessariamente finito) e una sequenza di interi positivi $ v_1,v_2,v_3\ldots $ tale che se un primo $ p $ divide $ (\prod_{i\in I}{q_i}^{v_i})+1 $ per qualche non vuoto e finito sottoinsieme $ I $ di $ S_n:=\{1,2,\ldots,n\} $ e diverso da $ S_n $ stesso, allora $ p \in \mathfrak{P} $.

Dopo aver mostrato che $ n $ non puo' essere finito, mostrare che se esiste $ k\in \mathbb{N} $ tale che $ 2^k+1 \in \mathbb{P}\setminus\mathfrak{P} $ allora esiste un intero $ i_0>0 $ tale che $ 2^k+1 \mid q_i^{v_i}-1 $ per ogni $ i\ge i_0 $.


Bonus. Mostrare che esistono al massimo $ \displaystyle \frac{4^k-1}{3} $ interi positivi distinti $ n_i $ tali che $ p \nmid q_{n_i}^{v_{n_i}}-1 $.