richiesta

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

su sarcastica e offensiva richiesta di colui che dice di risiedere in brunswick, mi tocca anche postare qualche problemino interessante... bah...
 ok, dai, vediamo...
 
 1) (riciclato, lo so) dimostrare che il successivo del prodotto di quattro interi consecutivi è sempre un quadrato perfetto.
 
 2) dimostrare che se p è un polinomio a coefficienti interi tale che p(0), p(1) è il coefficiente del termine di grado massimo sono dispari, allora p non ha radici razionali.
 
 3) gli n reali x_i (per i che va da 1 a n) soddisfano le seguenti condizioni:
 - sono positivi e minori di pi/2
 - prod tg(x_i) = 2^(n/2).
 trovare la migliore costante L tale che sum cos(x_i) <= L.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-10-11 15:09, ma_go wrote:
 
 
 2) dimostrare che se p è un polinomio a coefficienti interi tale che p(0), p(1) è il coefficiente del termine di grado massimo sono dispari, allora p non ha radici razionali.
 
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 mi sa che c\'è qualcosa che non va nella sintassi...

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

infatti c\'è un accento di troppo...
 \"...p(0), p(1) E il coefficiente...\"

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Scriviamo il prodotto di 4 interi consecutivi come
 (a-1)*a*(a+1)*(a+2). Facendo il prodotto del primo e del quarto membro, e
 del secondo e del terzo, otteniamo: (a^2+a-2)*(a^2+a). Ma questa espressione è equivalente a (a^2+a-1-1)*(a^2+a-1+1). Considerando dunque il prodotto notevole si ha (a^2+a-1)^2-1.
 Quest\'ultima espressione dice appunto che il prodotto di quattro interi
 consecutivi è uguale ad un quadrato, cioè (a^2+a-1), meno 1.
 Ma ciò significa che il successivo del prodotto di 4 numeri consecutivi è un quadrato perfetto.

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Provo il 2°.
 dalle informazioni si ha che nel polinomio scritto nella solita forma:
 1)a0 è dispari;
 2)an è dispari;
 3)a(n)+a(n-1)+..+a1+a0 é dispari;
 quindi a(n-1)+a(n-2)+...+a1 è dispari
 dobbiamo dire che p(x)=0 nn ha sol razionali (appartenenti a Z, giusto?)
 Se x pari, abbiamo che p(x) è dispari e nn può essere =0
 Se x dispari, sappiamo che a(n)*x^n è dispari, a(n-1)+a(n-2)+...+a1 (dispari) possiede un numero dispari di fattori dispari ed alcuni fattori pari.
 I fattori dispari restano dispari e quelli pari restano pari di modo che a(n-1)*x^(n-1)+....+a1*x resta dispari, a0 è dispari per ipotesti. Quindi anche in questo caso p(x) è dispari e diverso da 0.
 Ho detto troppe cazzate????

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

ne hai detta una, bastevole.
 cioè che Z sono i gli interi. i razionali sono Q, e sono le frazioni.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

2) p(x)=a_n*x^n+...+a_1*x+a_0
 p(0) dispari ==> a_0 dispari
 p(1) dispari ==> a_n+a_n-1+...+a_0 dispari
 quindi, visto che anche a_0 e a_n sono dispari, la loro somma è pari, e quindi
 a_n-1+a_n-2+...+a_1 è dispari
 supponiamo che p/q sia una radice razionale del polinomio: si ha quindi
 a_n*p^n/q^n+...+a_1*p/q+a_0=0
 a_n*p^n+a_n-1*p^n-1*q+...+a_1*p*q^n-1+a_0*q^n=0
 e raccogliendo p
 p(a_n*p^n-1+a_n-1*p^n-2*q+...+a_1*q^n-1)+a_0*q^n=0 (1)
 ora, se p/q è radice razionale del polinomio, allora p divide a_0, e q divide a_n ==> p e q sono dispari
 affinchè valga la (1) bisogna quindi che a_n-1*p^n-2*q+...+a_1*q^n-1 (2)
 sia pari
 infatti se tale quantità fosse dispari, sommandola ad a_n*p^n-1 (che è sempre dispari), si avrebbe una quantità pari, ed essendo anche a_0*q^n dispari, il primo membro della (1) sarebbe dispari ==> assurdo
 visto che p e q sono entrambi dispari, la parità della (2) dipende soltanto dagli a_i
 affinche (2) sia pari è necessario che gli a_i dispari siano in numero pari
 se però questo fosse vero, anche a_n-1+...+a_1 sarebbe pari, contro le ipotesi
 quindi p(x) non ha radici razionali
 funzia?
 bye [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 12-10-2003 13:53 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Nn mi ci raccapezzo mai con gli insiemi numerici.....
 Z sono i relativi (ovverosia gli interi)
 Q sono i razionali (ovverosia le frazioni)
 MI era venuto il dubbio ma nn ero andato a controllare....
 Ennesima figuraccia......

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

A parte la mia cavolata, ritengo che il procedimento risulti sostanzialmente uguale sia per i relativi che per i razionali (come si vede nella sol di Talpuz).
 Infatti una volta scritto:
 a_n*p^n+(a_n-1*p^n-1*q+...+a_1*p*q^n-1)+a_0*q^n=0
 si può ragionare come sopra, dividendo la dim con p dispari e q pari (o viceversa) o entrambi dispari [o magari si usa come ha fatto Talpuz il teorema fondamentale dell\'aritmetica]. Il risultato (con ragionamenti simili a quelli svolti per i relativi) è che il polinomio risulta sempre dispari e quindi diverso da 0.
 Questo messaggio [in cui nn dico nulla di + di quello che ha detto Talpuz], lo ammetto, è stato scritto per \"raccogliere i cocci\"
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 12-10-2003 17:30 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

rilancio incazzoso:
 
 4) prod y_i = 1, y_i > 0. dimostrare che prod (1+y_i) >= 2^n

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

perchè incazzoso??Cmq ecco qua
 prendo per esempio n=3, così è + semplice da spiegare:
 abc=1
 (a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1
 cioè tutti i sottoinsiemi nn vuoti di [a,b,c]+1.
 Notiamo che:
 abc=1 per ipotesi
 ab+ac+bc>=n [applicata dis AM-GM] dove n è il numero di sottoinsiemi di 2 elementi, ovverosia C[2,k], in questo caso n=3
 a+b+c>=n idem come sopre n=C[ 1,k](in questo caso n=3)
 Al minimo quindi (a+1)(b+1)(c+1)=3+3+1+1=8=2^3..
 La dimostrazione del caso generale viene dalla formula
 C[n,n]+C[n-1,n]+C[n-2,n]+...+C[1,n]+C[0,n]=2^n
 Il tutto dovrebbe essere corretto, ma credo esistano dimostrazioni + immediate...... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 13-10-2003 17:25 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Corretto?

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

direi di si

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

rilancio \"pacato\":
 x^3+y^3+z^3=x+y+z
 x^2+y^2+z^2=xyz
 in entrembe x,y,z sono reali positivi
 (le 2 equaz sono in sistema)
 
 ah, era sottinteso:trovare tutte le soluzioni di... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 14-10-2003 17:48 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 14-10-2003 20:42 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-10-12 17:04, info wrote:
 o magari si usa come ha fatto Talpuz il teorema fondamentale dell\'aritmetica
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 info, mi sa che ti sei confuso
 il teorema fondamentale dell\'aritmetica dice che ogni numero naturale ha una e un\'unica scomposizione in fattori primi, e c\'entra poco coi polinomi
 magari quella che ho usato io è una proprietà notevole delle radici razionali dei polinomi...non so se abbia un\'altro nome...
 penso che fosse una distrazione, cmq <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 bye