$\text{rad}_m(f(n))\mid \text{rad}_m(g(n))$ allora $f=g$

[jordan]

Fissato un intero positivo $m$, definiamo la funzione $\text{rad}_m(x):\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 : x \to \displaystyle \prod_{p \in \mathbb{P}, p\mid x, m\mid p-1}{p}$.

Siano fissati due polinomi $f(x),g(x)$ non costanti, a coefficienti interi e con nessuna radice (complessa) comune.

Mostrare che per ogni costante $C>0$ esiste un intero $n\ge C$ tale che $\text{rad}_m(f(n))$ non divide $\text{rad}_m(g(n))$.



(Una mia generalizzazione di questo; in particolare e' stata eliminata l'ipotesi che $C=1$, $m=1$ e che $f$ e $g$ siano irriducibili..)