Anelli, questi sconosciuti.

[AlanG]

Non so se propriamente, in livelli avanzati delle olimpiadi tali argomenti si trattano. Tuttavia siamo in matematica non elementare e mi sembra giusto proporre qualcosa di più particolare! (nulla di complicatissimo, chi conosce un po di algebra di primo anno può affrontarlo benissimo!)

Ciò che vi propongo di dimostrare è questo.

Sia $A$ un anello tale che $\forall a \in A : a^2=a$ Provare che $A$ è commutativo. - Tratto da "Herstein -Algebra (edizione italiana)"

[ndp15]

Premessa: sicuramente ci sono altri modi per risolvere il problema, probabilmente anche più veloci.
Let's go: $ \displaystyle a+b=(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+ab+ba+b $ da cui $ ab+ba=0 $
$ \displaystyle a+b=(a+b)^3=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=a^3+aba+ba^2+b^2a+a^2b+ab^2+bab+b^3=a+aba+bab+b $ da cui $ aba+bab=0 $
Ora: $ \displaystyle 0=aba+bab=(-ba)a+b(-ba)=-ba^2-b^2a=-ba-ba=ab-ba $ da cui $ ab=ba $
Se non ho preso abbagli, le proprietà usate nei vari passaggi sono quelle che definiscono un anello (non necessariamente unitario), l'ipotesi del problema, e il fatto che $ \forall a,b \in A \quad a=a^3 $ e $ a(-b)=(-a)b=-ab $ che lascio dimostrare al lettore

[trugruo]

2a=a+a=(a+a)^2=a^2 + a^2 + 2a =4a da cui 2a=0 per ogni a
(a+b)=(a+b)^2 => ab+ba=0 , però ba=-ba e quindi la tesi

[EvaristeG]

Per dirne un'altra, osserviamo che in $A$ si deve avere $x^n=0\Rightarrow x=0$ (ovvero $A$ è ridotto), quindi
$$(xy-xyx)^2=xyxy+xyx^2yx-xyxyx-xyx^2y=xyxy+xyxyx-xyxyx-xyxy=0$$
$$(yx-xyx)^2=yxyx+xyx^2yx-yx^2yx-xyxyx=yxyx+xyxyx-yxyx-xyxyx=0$$
(e notate che ho usato solo che $x^2=x$)
da cui (poiché $A$ è ridotto)
$$xy=xyx=yx$$
e dunque $xy=yx$ per ogni $y\in A$. Poiché ogni $x\in A$ è idempotente, ogni $x\in A$ commuta con ogni $y\in A$.

Questo in generale dimostra che in un anello ridotto, gli elementi idempotenti (le soluzioni di $x^2=x$) appartengono al centro, ovvero commutano con tutto.

Btw, ancora più in generale, se per ogni $x\in A$ esiste $n>1$ tale che $x^n=x$, allora $A$ è commutativo.

[AlanG]

procediamo per gradi.h

ndp15, non mi è chiara una cosa . Dalle ipotesi date come desumi che $\forall a \in A : a^3=a$?
presumo così :
Per ipotesi $a^2=a$ allora $a^3=aa^2=aa=a^2=a$
Comunque complimenti,bravo, mi convince.

truguo : Bravo. Sintetico, era la stessa che avrei dato io.
Hai dimostrato con naturalezza chhe se $\forall x \in A x^2=x \rightarrow x+x=0$ e da li, con un po di conti la tesi.

Evariste ; degno del nome che porti
hai generalizzato il problema.

[ndp15]

procediamo per gradi.h

ndp15, non mi è chiara una cosa . Dalle ipotesi date come desumi che $\forall a \in A : a^3=a$?
presumo così :
Per ipotesi $a^2=a$ allora $a^3=aa^2=aa=a^2=a$
Comunque complimenti,bravo, mi convince.

Sì, di fatto basta moltiplicare entrambi i membri per $ a $ e il gioco è fatto.
La generalizzazione proposta l'avevo letta anche io (mi pare su MO) ma non mi sono informato su eventuali attacchi al problema, che comunque credo sia decisamente più complesso.

[amatrix92]

Se non sbaglio quello citato da Evariste è il Teorema di Jacobson.
Avevo studiato il problema qualche mese fa.
Qui per saperne di più:
I. N. Herstein
The American Mathematical Monthly
Vol. 68, No. 3 (Mar., 1961), pp. 249-251