OliForum Matematico

Non so se propriamente, in livelli avanzati delle olimpiadi tali argomenti si trattano. Tuttavia siamo in matematica non elementare e mi sembra giusto proporre qualcosa di più particolare! (nulla di complicatissimo, chi conosce un po di algebra di primo anno può affrontarlo benissimo!)

Ciò che vi propongo di dimostrare è questo.

Sia $A$ un anello tale che $\forall a \in A : a^2=a$ Provare che $A$ è commutativo. - Tratto da "Herstein -Algebra (edizione italiana)"

Premessa: sicuramente ci sono altri modi per risolvere il problema, probabilmente anche più veloci.
Let's go: $ \displaystyle a+b=(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+ab+ba+b $ da cui $ ab+ba=0 $
$ \displaystyle a+b=(a+b)^3=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=a^3+aba+ba^2+b^2a+a^2b+ab^2+bab+b^3=a+aba+bab+b $ da cui $ aba+bab=0 $
Ora: $ \displaystyle 0=aba+bab=(-ba)a+b(-ba)=-ba^2-b^2a=-ba-ba=ab-ba $ da cui $ ab=ba $
Se non ho preso abbagli, le proprietà usate nei vari passaggi sono quelle che definiscono un anello (non necessariamente unitario), l'ipotesi del problema, e il fatto che $ \forall a,b \in A \quad a=a^3 $ e $ a(-b)=(-a)b=-ab $ che lascio dimostrare al lettore

2a=a+a=(a+a)^2=a^2 + a^2 + 2a =4a da cui 2a=0 per ogni a
(a+b)=(a+b)^2 => ab+ba=0 , però ba=-ba e quindi la tesi

Per dirne un'altra, osserviamo che in $A$ si deve avere $x^n=0\Rightarrow x=0$ (ovvero $A$ è ridotto), quindi
$$(xy-xyx)^2=xyxy+xyx^2yx-xyxyx-xyx^2y=xyxy+xyxyx-xyxyx-xyxy=0$$
$$(yx-xyx)^2=yxyx+xyx^2yx-yx^2yx-xyxyx=yxyx+xyxyx-yxyx-xyxyx=0$$
(e notate che ho usato solo che $x^2=x$)
da cui (poiché $A$ è ridotto)
$$xy=xyx=yx$$
e dunque $xy=yx$ per ogni $y\in A$. Poiché ogni $x\in A$ è idempotente, ogni $x\in A$ commuta con ogni $y\in A$.

Questo in generale dimostra che in un anello ridotto, gli elementi idempotenti (le soluzioni di $x^2=x$) appartengono al centro, ovvero commutano con tutto.

Btw, ancora più in generale, se per ogni $x\in A$ esiste $n>1$ tale che $x^n=x$, allora $A$ è commutativo.

procediamo per gradi.h

ndp15, non mi è chiara una cosa . Dalle ipotesi date come desumi che $\forall a \in A : a^3=a$?
presumo così :
Per ipotesi $a^2=a$ allora $a^3=aa^2=aa=a^2=a$
Comunque complimenti,bravo, mi convince.

truguo : Bravo. Sintetico, era la stessa che avrei dato io.
Hai dimostrato con naturalezza chhe se $\forall x \in A x^2=x \rightarrow x+x=0$ e da li, con un po di conti la tesi.

Evariste ; degno del nome che porti
hai generalizzato il problema.

AlanG ha scritto:procediamo per gradi.h

ndp15, non mi è chiara una cosa . Dalle ipotesi date come desumi che $\forall a \in A : a^3=a$?
presumo così :
Per ipotesi $a^2=a$ allora $a^3=aa^2=aa=a^2=a$
Comunque complimenti,bravo, mi convince.

Sì, di fatto basta moltiplicare entrambi i membri per $ a $ e il gioco è fatto.
La generalizzazione proposta l'avevo letta anche io (mi pare su MO) ma non mi sono informato su eventuali attacchi al problema, che comunque credo sia decisamente più complesso.

Se non sbaglio quello citato da Evariste è il Teorema di Jacobson.
Avevo studiato il problema qualche mese fa.
Qui per saperne di più:
I. N. Herstein
The American Mathematical Monthly
Vol. 68, No. 3 (Mar., 1961), pp. 249-251