Es. 1 del senior

[scambret]

trovare il valore k sapendo che le tre soluzioni $a$, $b$ e $c$ complesse di $p(x)=x^3+2x^2+kx+7$ e $a^3+b^3+c^3=5$

[Drago96]

Mi viene un risultato un po' strano...

Testo nascosto:

$\displaystyle\frac{17}3$ ?

[xXStephXx]

Mi sa che mi veniva lo stesso risultato

[scambret]

Dovrebbe essere giusto

[auron95]

Potreste postare il vostro ragionamento che al senior non mi era venuto??
Grazie

P.S. l'unica cosa che ho capito è che a,b,c sono le soluzione del sistema
$\left\{\begin{array}l a+b+c=-2 \\ abc=-7 \\ a^3+b^3+c^3=5 \end{array} \right.$
ma poi non so come andare avanti...

[Drago96]

Dai video pare che ai Senior si faccia parecchia attenzione alle relazioni radici-coefficienti, in particolare mi sembra che si dica che ogni somma omogenea si può scrivere come composizione di somme omogenee "base" ($a+b+c$, $ab+bc+ca$ ecc: i coefficienti di un polinomio in relazione alle radici).

In questo caso $a^3+b^3+c^3=S^3-3SQ+3P$ (questa notazione è abbastanza "standard": $S=a+b+c, \ P=abc, \ Q=ab+bc+ca$)
E da qui hai concluso

[LeZ]

Utilizzando le famose formule per i polinomi, con un po' di passaggi scopro che per ogni polinomio di terzo grado nella forma $ p(x)=x^3+ax^2+bx+c, x_1^3+x_2^3+x_3^3=-a^3+3ab-3c $, allora è facile vedere che $ 8-6k+21=5, k=4 $.

[Drago96]

$ x_1^3+x_2^3+x_3^3=-a^3+3ab-3c $, allora è facile vedere che $ 8-6k+21=5, k=4 $.

Hai cambiato i segni, perchè?

[LeZ]

Me la sono ricavata perchè? Mi sembra giusta.

[EvaristeG]

Dai video pare che ai Senior si faccia parecchia attenzione alle relazioni radici-coefficienti,

Beh, ci si fa "attenzione" perché servono ... comunque mettiamo ordine, orsù. Un polinomio (monico!) di terzo grado si scrive così
$$(x-a)(x-b)(x-c)$$
conoscendo le sue tre radici (complesse! ed eventualmente coincidenti a due a due o tutte e tre!) $a$, $b$, $c$. Sviluppando si ottiene
$$x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$$
dunque, dette $S=a+b+c$, $Q=ab+bc+ca$, $P=abc$, si può dire che
$$x^3-Sx^2+Qx-P=0$$
(notate i segni alternati). Adesso, noi vogliamo ricavare $a^3+b^3+c^3$ ... beh intanto sicuramente dovremo metterci un $S^3$ .. vediamo quanta roba in più viene
$$S^3=(a+b+c)^3=(a^3+b^3+c^3)+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc$$
ecco .. dunque ora sistemiamo i pezzi con due variabili ... sono del tipo $a^2b=a(ab)$ .. se proviamo a fare $SQ$ otteniamo
$$SQ=(a+b+c)(ab+bc+ca)=a^2b+abc+a^2c+b^2a+b^2c+abc+abc+c^2b+c^2a=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+3abc$$
e dunque
$$S^3-3SQ=(a^3+b^3+c^3)-3abc=(a^3+b^3+c^3)-3P$$
da cui
$$(a^3+b^3+c^3)=S^3-3SQ+3P$$
ed ora mettendo tutto assieme, dal testo ricaviamo
S=-2, Q=k, P=-7
ovvero
$$5=-8+6k-21$$
da cui
$$6k=34$$
da cui
$$k=17/3$$

E la prossima volta, magari, anche con un hide, ma scrivete delle soluzioni, non delle allusioni

[jordan]

[...]ma scrivete delle soluzioni, non delle allusioni

In effetti pare và di moda ultimamente

[LeZ]

Che sbadata, ho sbagliato completamente i segni quando ho inserito $ a $ e $ c $nell'equazione risolvente! Anche a me viene il vostro risultato!