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trovare il valore k sapendo che le tre soluzioni $a$, $b$ e $c$ complesse di $p(x)=x^3+2x^2+kx+7$ e $a^3+b^3+c^3=5$

Mi viene un risultato un po' strano...

Mi sa che mi veniva lo stesso risultato

Dovrebbe essere giusto

Potreste postare il vostro ragionamento che al senior non mi era venuto??
Grazie

P.S. l'unica cosa che ho capito è che a,b,c sono le soluzione del sistema
$\left\{\begin{array}l a+b+c=-2 \\ abc=-7 \\ a^3+b^3+c^3=5 \end{array} \right.$
ma poi non so come andare avanti...

Dai video pare che ai Senior si faccia parecchia attenzione alle relazioni radici-coefficienti, in particolare mi sembra che si dica che ogni somma omogenea si può scrivere come composizione di somme omogenee "base" ($a+b+c$, $ab+bc+ca$ ecc: i coefficienti di un polinomio in relazione alle radici).

In questo caso $a^3+b^3+c^3=S^3-3SQ+3P$ (questa notazione è abbastanza "standard": $S=a+b+c, \ P=abc, \ Q=ab+bc+ca$)
E da qui hai concluso

Utilizzando le famose formule per i polinomi, con un po' di passaggi scopro che per ogni polinomio di terzo grado nella forma $ p(x)=x^3+ax^2+bx+c, x_1^3+x_2^3+x_3^3=-a^3+3ab-3c $, allora è facile vedere che $ 8-6k+21=5, k=4 $.

LeZ ha scritto:$ x_1^3+x_2^3+x_3^3=-a^3+3ab-3c $, allora è facile vedere che $ 8-6k+21=5, k=4 $.

Hai cambiato i segni, perchè?

Me la sono ricavata perchè? Mi sembra giusta.

Drago96 ha scritto:Dai video pare che ai Senior si faccia parecchia attenzione alle relazioni radici-coefficienti,

Beh, ci si fa "attenzione" perché servono ... comunque mettiamo ordine, orsù. Un polinomio (monico!) di terzo grado si scrive così
$$(x-a)(x-b)(x-c)$$
conoscendo le sue tre radici (complesse! ed eventualmente coincidenti a due a due o tutte e tre!) $a$, $b$, $c$. Sviluppando si ottiene
$$x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$$
dunque, dette $S=a+b+c$, $Q=ab+bc+ca$, $P=abc$, si può dire che
$$x^3-Sx^2+Qx-P=0$$
(notate i segni alternati). Adesso, noi vogliamo ricavare $a^3+b^3+c^3$ ... beh intanto sicuramente dovremo metterci un $S^3$ .. vediamo quanta roba in più viene
$$S^3=(a+b+c)^3=(a^3+b^3+c^3)+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc$$
ecco .. dunque ora sistemiamo i pezzi con due variabili ... sono del tipo $a^2b=a(ab)$ .. se proviamo a fare $SQ$ otteniamo
$$SQ=(a+b+c)(ab+bc+ca)=a^2b+abc+a^2c+b^2a+b^2c+abc+abc+c^2b+c^2a=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+3abc$$
e dunque
$$S^3-3SQ=(a^3+b^3+c^3)-3abc=(a^3+b^3+c^3)-3P$$
da cui
$$(a^3+b^3+c^3)=S^3-3SQ+3P$$
ed ora mettendo tutto assieme, dal testo ricaviamo
S=-2, Q=k, P=-7
ovvero
$$5=-8+6k-21$$
da cui
$$6k=34$$
da cui
$$k=17/3$$

E la prossima volta, magari, anche con un hide, ma scrivete delle soluzioni, non delle allusioni

EvaristeG ha scritto:[...]ma scrivete delle soluzioni, non delle allusioni

In effetti pare và di moda ultimamente

Che sbadata, ho sbagliato completamente i segni quando ho inserito $ a $ e $ c $nell'equazione risolvente! Anche a me viene il vostro risultato!