Polinomio scomponibile

[jordan]

Trovare tutti gli interi n tali che $ p(x) = x^{5}-nx-n-2 $ e' rappresentabile come prodotto di due polinomio a coefficienti interi non costanti.

(Mediterranean MO 2001)

[spugna]

Caso 1: polinomio di 1° grado x polinomio di 4°grado
Per Ruffini deve esistere una radice intera, che chiamo $s$.
Abbiamo $p(s)=0 \Rightarrow s^5-(s+1)n-2=0 \Rightarrow n=\dfrac{s^5-2}{s+1}=\dfrac{s^5+1}{s+1}-\dfrac{3}{s+1}$
Dunque $n$ è intero se $s+1$ è un divisore di $3$, ovvero $s \in \{-4,-2,0,2 \}$, da cui ricaviamo i rispettivi valori di $n$, che sono $\{ 342,34,-2,10 \}$


Caso 2: polinomio di 2° grado x polinomio di 3°grado
Se il primo fattore è $x^2+ax+b$, l'altro è $x^3-ax^2+(a^2-b)x+2ab-a^3$ (ci si arriva imponendo che i coefficienti di $x^4$, $x^3$ e $x^2$ si annullino)
A questo punto si deve avere
$\left\{
\begin{array}{lcl}
b(a^2-b)+a(2ab-a^3)=-n \\
b(2ab-a^3)=-n-2
\end{array}
\right.$
Sostituisco $-n$ nella seconda equazione e ricavo $2ab^2-a^3b=3a^2b-b^2-a^4-2 \Rightarrow (2a+1)b^2-(a^3+3a^2)b+a^4+2=0$
Ora posso esprimere $b$ in funzione di $a$: dal momento che cerchiamo soluzioni intere è necessario che il discriminante sia un quadrato perfetto

$\Delta=(a^3+3a^2)^2-4(2a+1)(a^4+2)=a^6-2a^5+5a^4-16a-8$

Se $a \ge 4$ o $a \le -3$, $\Delta$ non può essere un quadrato perché è compreso tra $(a^3-a^2+2a+1)^2$ e $(a^3-a^2+2a+2)^2$ (spero che vi fidiate perché i calcoli sono un po' lunghi e noiosi), mentre tra i sei valori rimasti è accettabile solo $-1$ (si ottiene $16$), da cui $b=1$ oppure $b=-3$
Tornando alla prima equazione del sistema trovo per sostituzione i possibili valori di $n$, che sono $-1$ e $19$

Ricapitolando, l'insieme delle soluzioni è $\{-2,-1,10,19,34,342\}$