Generalizzando SNS2012 - 5
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Sia $\mathcal Q$ un quadrilatero convesso. Dimostrare che se esiste un punto $P$ interno a $\mathcal Q$ tale che ogni retta passante per $P$ divide $\mathcal Q$ in due poligoni equivalenti, allora $\mathcal Q$ è un parallelogramma.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Generalizzando SNS2012 - 5
se consideriamo un quadrilatero convesso e proviamo a dividerlo in 2 parti uguali , avremo 2 casi possibili:
1) avremo 2 triangoli
2) avremo altri 2 quadrilateri
-----
nel caso 1 ) succede solo quando prendiamo come retta quella che tocca 2 vertici opposti.
Se noi abbiamo 2 triangoli congruenti , per far in modo che essi formino un quadrilatero , devono avere un lato in comune e 2 vertici.
Considerando solo il quadrilatero che essi formano abbiamo altri 2 vertici opposti . Se vengono collegati avremo altri 2 triangoli congruenti tra loro con un lato in comune e 2 vertici in comune.
prendendo il lato in comune di una coppia di questi triangoli e prendendo l'altro lato in comune dell'altra coppia , avremo un punto d'incontro P
che è quindi il punto da cui passano le 2 rette dove giacciono i lati in comune delle 2 coppie di triangoli congruenti.
2) considerando questo punto P ,immaginiamo una retta che passi da P chje non ricada nel caso 1.
Adesso ipotizziamo di avere 2 quadrilateri congruenti che abbiaro ciascuno almeno 2 lati paralleli e facciamo in modo che essi formino un unico quadrilatero . Per far cio' dobbiamo prendere 2 lati uguali e fare in modo che giacciano su un un'unica retta , ma non solo.
( ora per spiegarlo senza un disegnino ci metto troppo, cosi' allego uno schizzo fatto da me
)
Considerando il brutto disegno che allego ,anche AB e EF devono giacere sulla stessa retta e analogamente DC e HG.
Se rispetto queste proprieta' potro' dire che AB = HG e EF = BC , perchè l'angolo convesso B e l'angolo convesso e devono formare un angolo supplementare.
e di conseguenza FG = AD.
in pratica abbiamo girato di 180 gradi la stessa figura.
Riprendendo l'ipotesi di avere 2 lati paralleli per ciascun quadrilatero , ( quelli consecutivi al lato in comune) di conseguenza AD è parallalo ed uguale ad FG.
IL quadrilatero formatosi dai 2 , puo' essere formato sempre da altri 2 quadrilateri congruenti con 2 lati paralleili e si incontreranno sempre in un punto P tale che P sara' il punto medio del lato in comune.
Quindi , infine avremo un quadrilatero con lati opposti uguali 2 a 2 e paralleli 2 a 2 . Angoli opposti uguali , perchè abbiamo girato un quadrilatero di 180 gradi e di conseguenza 2 angoli adiacenti sono supplementari.Mi mancherebbe da dimostrare nel caso 1 che nel lato in comune , il punto P è il punto medio del lato , cosi' potrei dire per certo che il quadrilatero che si forma è un parallelogramma.
Dimostrazione fatta molto male , volevo comunque provare....
ops l'allegato
1) avremo 2 triangoli
2) avremo altri 2 quadrilateri
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nel caso 1 ) succede solo quando prendiamo come retta quella che tocca 2 vertici opposti.
Se noi abbiamo 2 triangoli congruenti , per far in modo che essi formino un quadrilatero , devono avere un lato in comune e 2 vertici.
Considerando solo il quadrilatero che essi formano abbiamo altri 2 vertici opposti . Se vengono collegati avremo altri 2 triangoli congruenti tra loro con un lato in comune e 2 vertici in comune.
prendendo il lato in comune di una coppia di questi triangoli e prendendo l'altro lato in comune dell'altra coppia , avremo un punto d'incontro P
che è quindi il punto da cui passano le 2 rette dove giacciono i lati in comune delle 2 coppie di triangoli congruenti.
2) considerando questo punto P ,immaginiamo una retta che passi da P chje non ricada nel caso 1.
Adesso ipotizziamo di avere 2 quadrilateri congruenti che abbiaro ciascuno almeno 2 lati paralleli e facciamo in modo che essi formino un unico quadrilatero . Per far cio' dobbiamo prendere 2 lati uguali e fare in modo che giacciano su un un'unica retta , ma non solo.
( ora per spiegarlo senza un disegnino ci metto troppo, cosi' allego uno schizzo fatto da me
)Considerando il brutto disegno che allego ,anche AB e EF devono giacere sulla stessa retta e analogamente DC e HG.
Se rispetto queste proprieta' potro' dire che AB = HG e EF = BC , perchè l'angolo convesso B e l'angolo convesso e devono formare un angolo supplementare.
e di conseguenza FG = AD.
in pratica abbiamo girato di 180 gradi la stessa figura.
Riprendendo l'ipotesi di avere 2 lati paralleli per ciascun quadrilatero , ( quelli consecutivi al lato in comune) di conseguenza AD è parallalo ed uguale ad FG.
IL quadrilatero formatosi dai 2 , puo' essere formato sempre da altri 2 quadrilateri congruenti con 2 lati paralleili e si incontreranno sempre in un punto P tale che P sara' il punto medio del lato in comune.
Quindi , infine avremo un quadrilatero con lati opposti uguali 2 a 2 e paralleli 2 a 2 . Angoli opposti uguali , perchè abbiamo girato un quadrilatero di 180 gradi e di conseguenza 2 angoli adiacenti sono supplementari.Mi mancherebbe da dimostrare nel caso 1 che nel lato in comune , il punto P è il punto medio del lato , cosi' potrei dire per certo che il quadrilatero che si forma è un parallelogramma.
Dimostrazione fatta molto male , volevo comunque provare....
ops l'allegato
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Re: Generalizzando SNS2012 - 5
Uhm, non ho letto molto approfonditamente ma mi pare che tu stia facendo un errore fondamentale: hai preso due quadrilateri congruenti, non equivalenti. 
Equivalenti vuol dire che hanno la stessa area.
Equivalenti vuol dire che hanno la stessa area.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Generalizzando SNS2012 - 5
si lo so , infatti ho scritto di aver ipotizzato di avere 2 quadrilateri congruenti . Comunque è sempre molto incasinato quel che ho scritto
Re: Generalizzando SNS2012 - 5
comunque ora che ho le idee piu chiare:
dunque se noi abbiamo 2 quadrilateri convessi equivalenti qualsiasi e vogliamo che essi formino un unico quadrilatero , dovranno avere un lato in comune E ANCHE i 2 lati consecutivi al lato in comune che siano adiacenti agli altri 2 consecutivi.
dunque , se quindi dal quadrilatero formatosi noi prendiamo AF e DG ,essi dovranno essere per forza paralleli , perchè altrimenti nel caso 1 non avremo piu' 2 triangoli equivalenti.
Di conseguenza avremo 2 quadrilateri congruenti convessi
dunque se noi abbiamo 2 quadrilateri convessi equivalenti qualsiasi e vogliamo che essi formino un unico quadrilatero , dovranno avere un lato in comune E ANCHE i 2 lati consecutivi al lato in comune che siano adiacenti agli altri 2 consecutivi.
dunque , se quindi dal quadrilatero formatosi noi prendiamo AF e DG ,essi dovranno essere per forza paralleli , perchè altrimenti nel caso 1 non avremo piu' 2 triangoli equivalenti.
Di conseguenza avremo 2 quadrilateri congruenti convessi
Re: Generalizzando SNS2012 - 5
Prendi un quadrilatero convesso e chiama AC una diagonale ... se fai una parallela ad AC a caso dividi il quadrilatero in un pentagono e un triangolo... quindi c'è qualcosa che non va in quel che dici, o no?