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Sia $\mathcal Q$ un quadrilatero convesso. Dimostrare che se esiste un punto $P$ interno a $\mathcal Q$ tale che ogni retta passante per $P$ divide $\mathcal Q$ in due poligoni equivalenti, allora $\mathcal Q$ è un parallelogramma.

se consideriamo un quadrilatero convesso e proviamo a dividerlo in 2 parti uguali , avremo 2 casi possibili:
1) avremo 2 triangoli
2) avremo altri 2 quadrilateri

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nel caso 1 ) succede solo quando prendiamo come retta quella che tocca 2 vertici opposti.
Se noi abbiamo 2 triangoli congruenti , per far in modo che essi formino un quadrilatero , devono avere un lato in comune e 2 vertici.
Considerando solo il quadrilatero che essi formano abbiamo altri 2 vertici opposti . Se vengono collegati avremo altri 2 triangoli congruenti tra loro con un lato in comune e 2 vertici in comune.
prendendo il lato in comune di una coppia di questi triangoli e prendendo l'altro lato in comune dell'altra coppia , avremo un punto d'incontro P
che è quindi il punto da cui passano le 2 rette dove giacciono i lati in comune delle 2 coppie di triangoli congruenti.
2) considerando questo punto P ,immaginiamo una retta che passi da P chje non ricada nel caso 1.
Adesso ipotizziamo di avere 2 quadrilateri congruenti che abbiaro ciascuno almeno 2 lati paralleli e facciamo in modo che essi formino un unico quadrilatero . Per far cio' dobbiamo prendere 2 lati uguali e fare in modo che giacciano su un un'unica retta , ma non solo.
( ora per spiegarlo senza un disegnino ci metto troppo, cosi' allego uno schizzo fatto da me )
Considerando il brutto disegno che allego ,anche AB e EF devono giacere sulla stessa retta e analogamente DC e HG.
Se rispetto queste proprieta' potro' dire che AB = HG e EF = BC , perchè l'angolo convesso B e l'angolo convesso e devono formare un angolo supplementare.
e di conseguenza FG = AD.
in pratica abbiamo girato di 180 gradi la stessa figura.
Riprendendo l'ipotesi di avere 2 lati paralleli per ciascun quadrilatero , ( quelli consecutivi al lato in comune) di conseguenza AD è parallalo ed uguale ad FG.
IL quadrilatero formatosi dai 2 , puo' essere formato sempre da altri 2 quadrilateri congruenti con 2 lati paralleili e si incontreranno sempre in un punto P tale che P sara' il punto medio del lato in comune.
Quindi , infine avremo un quadrilatero con lati opposti uguali 2 a 2 e paralleli 2 a 2 . Angoli opposti uguali , perchè abbiamo girato un quadrilatero di 180 gradi e di conseguenza 2 angoli adiacenti sono supplementari.Mi mancherebbe da dimostrare nel caso 1 che nel lato in comune , il punto P è il punto medio del lato , cosi' potrei dire per certo che il quadrilatero che si forma è un parallelogramma.

Dimostrazione fatta molto male , volevo comunque provare....

ops l'allegato

Uhm, non ho letto molto approfonditamente ma mi pare che tu stia facendo un errore fondamentale: hai preso due quadrilateri congruenti, non equivalenti.
Equivalenti vuol dire che hanno la stessa area.

si lo so , infatti ho scritto di aver ipotizzato di avere 2 quadrilateri congruenti . Comunque è sempre molto incasinato quel che ho scritto

comunque ora che ho le idee piu chiare:
dunque se noi abbiamo 2 quadrilateri convessi equivalenti qualsiasi e vogliamo che essi formino un unico quadrilatero , dovranno avere un lato in comune E ANCHE i 2 lati consecutivi al lato in comune che siano adiacenti agli altri 2 consecutivi.

dunque , se quindi dal quadrilatero formatosi noi prendiamo AF e DG ,essi dovranno essere per forza paralleli , perchè altrimenti nel caso 1 non avremo piu' 2 triangoli equivalenti.
Di conseguenza avremo 2 quadrilateri congruenti convessi

Prendi un quadrilatero convesso e chiama AC una diagonale ... se fai una parallela ad AC a caso dividi il quadrilatero in un pentagono e un triangolo... quindi c'è qualcosa che non va in quel che dici, o no?