55. $f(x+y)=f(x)+f(y)+\frac{1}{2012}$

[jordan]

Trovare tutte le funzioni $f(\cdot): \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ (l'insieme dei reali positivi) tali che, per ogni $x,y \in \mathbb{R}^+$ vale:
\[ f(x+y)=f(x)+f(y)+\frac{1}{2012} \]

[Troleito br00tal]

Sia $y=x$
Ricavo per ricorrenza che:
$f(2^nx)=2^nf(x)+(2^n-1)\frac{1}{2012}$

A questo punto, per una $f(x)$ a caso avrò questa relazione $f(x)<2^m\frac{1}{2012}$, per qualche $m$

Però se prendo $f(x)=2^{m+1}f(\frac{x}{2^{m+1}})+\frac{2^{m+1}-1}{2012}$

E' banale verificare che questo falsifica la disuguaglianza:
$\frac{2^{m+1}-1}{2012}<2^m\frac{1}{2012}$

Quindi non esiste nessuna soluzione.

[jordan]

Si, tutto corretto, anche se esisteva una soluzione molto piu' elegante con la sostituzione $F(x)=f(x)+\frac{1}{2012}$. Vai col prossimo