56. Funzioni brutali

[Troleito br00tal]

Sia $f(x)$ una funzione dagli interi positivi in sé tale che:
\begin{equation}
f(x)^2<xf(x+1) \le\ 2x^2f([\frac{x+1}{2}])
\end{equation}
dove $[x]$ indica la parte intera di $x$

Determinare $f(x)$

Own oddio questa faccina è inquietante

[jordan]

Ho come l'impressione di essermi complicato la vita.. mi posteresti la tua? Giusto per capire come t'è venuto in mente un esercizio del genere
http://bboyjordan.wordpress.com/2012/10 ... unctional/

[Troleito br00tal]

La mia è mooolto simile (in realtà non ho troppo capito perché ti sei calcolato $f(1)$ e $f(2)$), dopo aver notato che (uso la tua notazione quindi farò fatica):
i) $f(x) \ge\ x$ per assurdo+induzione verso il basso
ii) $f(x+1)>f(x)$ per sostituzione di i) in $f(x)^2<xf(x+1)$
iii) $f(y+m) \ge\ (y+m)+2^m$ (esattamente nello stesso modo in cui tu l'hai fatto)

Ora (ponendoci nel tuo assurdo) per ii) in realtà sceglievo opportunamente grandi $j$ e $2j$ (ovvero $m \rightarrow j$) tali che $f(j)>j$ e distinguevo i 2 casi:
-$j$ dispari: uso $f(2j)^2<2(2j)^2f(j)$ e a sinistra ho un simpatico $2^j$ che falsifica;
-$j$ pari: uso $(2j-1)f(2j) \le\ 2(2j-1)^2f(j)$ e anche qui il $2^j$ mi salva la vita.

Le conclusioni vabbé sono le stesse.

Poi per l'ispirazione sono partito da $f(x)^2<xf(x+1)$ (il viaggio scuola-casa è meglio di Calliope) e poi l'ho limitata con un valore abbastanza a caso.

Poi vedo che per la staffetta ti sei portato avanti e comunque se vuoi una dimostrazione completa completa (anche se ormai il lavoro sporco l'hai fatto tu) la posto

[jordan]

Tranquillo, era solo per curiosità, visto che ho cercato spesso di inventare problemi, ma non credo mi sarebbe mai in mente qualcosa del genere