OliForum Matematico

Sia $f(x)$ una funzione dagli interi positivi in sé tale che:
\begin{equation}
f(x)^2<xf(x+1) \le\ 2x^2f([\frac{x+1}{2}])
\end{equation}
dove $[x]$ indica la parte intera di $x$

Determinare $f(x)$

Own oddio questa faccina è inquietante

Ho come l'impressione di essermi complicato la vita.. mi posteresti la tua? Giusto per capire come t'è venuto in mente un esercizio del genere
http://bboyjordan.wordpress.com/2012/10 ... unctional/

La mia è mooolto simile (in realtà non ho troppo capito perché ti sei calcolato $f(1)$ e $f(2)$), dopo aver notato che (uso la tua notazione quindi farò fatica):
i) $f(x) \ge\ x$ per assurdo+induzione verso il basso
ii) $f(x+1)>f(x)$ per sostituzione di i) in $f(x)^2<xf(x+1)$
iii) $f(y+m) \ge\ (y+m)+2^m$ (esattamente nello stesso modo in cui tu l'hai fatto)

Ora (ponendoci nel tuo assurdo) per ii) in realtà sceglievo opportunamente grandi $j$ e $2j$ (ovvero $m \rightarrow j$) tali che $f(j)>j$ e distinguevo i 2 casi:
-$j$ dispari: uso $f(2j)^2<2(2j)^2f(j)$ e a sinistra ho un simpatico $2^j$ che falsifica;
-$j$ pari: uso $(2j-1)f(2j) \le\ 2(2j-1)^2f(j)$ e anche qui il $2^j$ mi salva la vita.

Le conclusioni vabbé sono le stesse.

Poi per l'ispirazione sono partito da $f(x)^2<xf(x+1)$ (il viaggio scuola-casa è meglio di Calliope) e poi l'ho limitata con un valore abbastanza a caso.

Poi vedo che per la staffetta ti sei portato avanti e comunque se vuoi una dimostrazione completa completa (anche se ormai il lavoro sporco l'hai fatto tu) la posto

Tranquillo, era solo per curiosità, visto che ho cercato spesso di inventare problemi, ma non credo mi sarebbe mai in mente qualcosa del genere