57. $f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1$ - part 2

[jordan]

Trovare tutte le funzioni $f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ tali che
\[ f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1 \text{ per ogni } k,m,n \in \mathbb{N}\]

[kalu]

$ \bullet $ $ k=m=n=0 $: $$\bigl(f(0)-1\bigl)^2\leq 0 \to f(0)=1$$ $ \bullet $ $ k=m=n=1 $: $$\bigl(f(1)-1\bigl)^2\leq 0 \to f(1)=1$$ $ \bullet $ $ m=n=1 $, $ k \to x $: $$f(x)\geq 1$$ $ \bullet $ $ k=0 $, $ m=1 $, $ n \to x $: $$f(x)\leq 1$$
Quindi: $ 1\leq f(x) \leq 1 $ $ \forall $ $ x \in \mathbb{N}_0 $ $ \to $ $ f(x)=1 $ $ \forall $ $ x \in \mathbb{N}_0 $.
In effetti per $ f(x)=1 $ si ha che $ f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)=1 \text{ per ogni } k,m,n \in \mathbb{N}_0 $.

[Drago96]

Uhm, direi che c'è qualcosa che non torna nel testo...

$f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ [...] $\text{ per ogni } k,m,n \in \mathbb{N}$

Immagino che anche il secondo sia $\mathbb N_0$, e in questo caso $0\not\in\mathbb N_0$, quindi salta la dimostrazione (anche perchè è identica alla prima parte)

[kalu]

Uhm, direi che c'è qualcosa che non torna nel testo...

$f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ [...] $\text{ per ogni } k,m,n \in \mathbb{N}$

Immagino che anche il secondo sia $\mathbb N_0$, e in questo caso $ 0\not\in\mathbb N_0 $, quindi salta la dimostrazione (anche perchè è identica alla prima parte)

A me hanno sempre detto che $ \mathbb N_0 $ è l'insieme dei numeri naturali incluso lo 0 http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number#Notation
Riguardo la prima parte chiedo scusa, ovviamente non l'avevo proprio vista

[Drago96]

Dipende da come è definito $\mathbb N$...
Mi pare che in Italia si usi la definizione degli assiomi di Peano, che includono lo 0 nei numeri naturali...

[kalu]

Ok, allora risolviamo il problema giusto.

Sia $ g(x)=f(x)-1 $. La disequazione diventa: $$g(km)+g(kn)-g(k)g(mn)-g(k)-g(mn)\geq 0$$
$ \bullet \ k=m=n=1 $ $$g^2(1) \leq 0 \ \ \to \ \ g(1)=0$$ $ \bullet \ k=1, \ m=n \to x $ $$2g(x) \geq g(x^2)$$ $ \bullet \ m=1, \ k=n \to x $ $$g(x^2) \geq g^2(x)+g(x)$$ $ \bullet $ Compongo le ultime due disequazioni e ottengo: $$g(x) \geq g^2(x) \ \ \to \ \ 0 \leq g(x) \leq 1$$ $ \bullet $ Dimostro per induzione che per ogni intero $ t > 0 $ vale: $$g\bigl(x^{2^t}\bigl) \geq t \cdot g^2(x)+g(x)$$

Testo nascosto:

Il passo base è stato già compiuto.
Suppongo la tesi vera per $t$. Allora: $$g\bigl(x^{2^{t+1}}\bigl)=g\bigl(\bigl(x^{2^t}\bigl)^2\bigl) \geq g^2\bigl(x^{2^t}\bigl)+g\bigl(x^{2^t}\bigl) \geq \bigl(t\cdot g^2(x)+g(x)\bigl)^2+t\cdot g^2(x)+g(x) \geq (t+1)g^2(x)+g(x)$$

Quindi: $$1\geq t\cdot g^2(x)+g(x)$$ che, potendo scegliere $ t $ arbitrariamente grandi, vale sempre soltanto se $ g(x)=0 \ \forall \ x \in \mathbb{N}^+ $.
Quindi deve valere $ f(x)=1 \ \forall x \ \in \mathbb{N}^+ $, e in effetti sostituendo si vede che soddisfa (l'ho già fatto prima).

[jordan]

Molto bene, vai avanti