$x!y!=z!!$

[jordan]

Trovare tutte e sole le soluzioni negli interi positivi di $x!y!=z!!$


Ps. $m!!$ e' il doppio fattoriale, cioè il prodotto degli interi positivi $\le m$, con la stessa parità di $m$

[kalu]

LEMMA: $$v_2(n!)<n \ \forall \ n>0$$

Testo nascosto:

Avendo verificato che $ v_2(1)=0 $, suppongo che per qualche $ k\geq 0 $ valga $ v_2(n)\leq n-1 \ \forall \ n\leq 2^k $.
Allora, preso un intero $ t $ tale che $ 0<t<2^k $, ho che $$\displaystyle v_2((2^k+t)!)=v_2(2^k!)+\sum_{i=1}^t{v_2(2^k+i)}=v_2(2^k!)+\sum_{i=1}^t{v_2(i)}=v_2(2^k!)+v_2(t!)\leq 2^k+t-2.$$ Inoltre: $$v_2(2^{k+1}!)=v_2((2^{k+1}-1)!)+v_2(2^{k+1})=v_2(2^k!)+v_2((2^k-1)!)+v_2(2^{k+1})=2v_2(2^k!)-v_2(2^k)+v_2(2^{k+1})=2v_2(2^k!)+1\leq 2^{k+1}-1$$
Quindi $ \ v_2(n!)\leq n-1 \ \forall \ 0<n\leq 2^k \ \to \ v_2(n!)\leq n-1 \ \forall \ 0<n\leq 2^{k+1} $, da cui per induzione $ v_2(n!)\leq n-1 \ \forall \ n>0 $.

Sia WLOG $ x\geq y $
Se $ x=y=1 $, $ z=1 $.
Considero ora max$ \{x, y\}\geq 2 $.
$ z $ deve essere pari. Sia $ z=2k $. Allora: $$x!y!=2^kk!$$
Noto che $ x \leq k+1 $, perchè in caso contrario avrei l'assurdo $ x(x-1)\mid 2^k $.

Se $ x=k+1 $ l'equazione diventa $ (k+1)y!=2^k $. E' immediato notare che $ y \in \{1, 2\} $. Per $ k\leq3 $ si trovano a mano le soluzioni $ k=1, y=1 $, e $ k=3, y=2 $. Non ce ne sono altre perchè si vede facilmente per induzione che $ \displaystyle \frac{2^k}{k+1}>2 \ \forall \ k>3 $.

Se $ x\leq k $, allora $ v_2(x!)=k+v_2(k!)-v_2(y!)\geq k\geq x $, ma ciò entra in contrasto con il LEMMA.

In conclusione, le terne $ (x, y, z) $ che risolvono l'equazione sono $ (2, 1, 2) $, $ (1, 2, 2) $, $ (4, 2, 6) $, $ (2, 4, 6) $.

[jordan]

Il tuo lemma è semplicemente $\upsilon_2(n!)=\sum_{i\in \mathbb{N}_0}{\lfloor n2^{-i} \rfloor}$ $\le n \sum_{i\in \mathbb{N}_0}{2^{-i}} \le n$, ma l'uguaglianza non vale mai per $n$ finito; per il resto mi pare che è tutto apposto