$(36a+b)(a+36b)=2^c$

[jordan]

Risolvere negli interi $(36a+b)(a+36b)=2^c$.

[Ido Bovski]

Testo nascosto:

Poiché $LHS$ è intero, abbiamo che $c\in \mathbb{N}$. Devono esistere $h, k\in \mathbb{N}$ tali che $h+k=c$ e
$$\begin{cases} 36a+b=2^h \\ a+36b=2^k \end{cases}$$
Supponiamo wlog che $h\ge k$. Sommando le due equazioni otteniamo che $37(a+b)=2^k(2^{h-k}+1)$, da cui $37\mid 2^{h-k}+1$ e pertanto $\displaystyle h-k=\frac{\text{ord}_{37}(2)}{2}j=18j$ con $j$ dispari.
Sottraendo membro a membro le equazioni, abbiamo invece che $35(a-b)=2^k(2^{h-k}-1)$, da cui $35\mid 2^{h-k}-1$ e $\text{ord}_{35}(2)=12\mid h-k$. Ma $h-k=18j\equiv 6 \pmod {12}$, assurdo.

[jordan]

Molto bene Ido
Viene dalla shortlist di qualche anno fa..