Intanto $n+1$ deve essere primo, altrimenti $(n+1;n!)>1$ e quindi non posso raggiungere l'uguaglianza. E poi ho che $k>1$ per $n>2$, perché $n!+1>n+1$. Chiamo ora $n+1=p$ e procedo:
\begin{equation}
(p-1)!+1=p^k
\end{equation}
\begin{equation}
(p-1)!=p^k-1=(p^{k-1}+...+1)(p-1)
\end{equation}
\begin{equation}
(p-2)!=p^{k-1}+...+1
\end{equation}
Adesso guardo modulo $p-1$ e ho che per $p>5$ allora $p-1|(p-2)!$ (tanto sono sicuro che $p-1$ non sia primo quindi mi basta prendere $\frac{p-1}{2}$ e $2$ in $(p-2)!$) e ottengo questa roba:
mod$(p-1)$ $0=1^{k-1}+...+1$
Ovvero, dato che $k>1$ e $p-1|k-1$, $k \ge p$. Se faccio questa disuguaglianza ho che per $p>5$ e $k>1$ non esistono soluzioni:
\begin{equation}
p^{k} \ge p^p>(p-1)!+1
\end{equation}
Ora mi basta guardare con $p=5;3;2$, e ho rispettivamente le soluzioni:
$4!+1=5^2$
$2!+1=3^1$
$1!+1=2^1$
