Colorazione di $\mathbb{Z}$- oliforum contest, probl 6

[jordan]

Ogni intero viene colorato con uno di $4$ colori disponibili, e fissiamo $m,n$ interi dispari distinti tali che $m+n \ne 0$. Mostrare che esistono interi $a,b$ dello stesso colore tali che $a-b$ ha lo stesso colore di almeno uno tra $m,n,m-n,m+n$.

[Troleito br00tal]

Potremmo aprire un bel topic di bestemmie per i ritardatari che hanno letto $a+b$ al posto di $a-b$.

[jordan]

Potremmo aprire un bel topic di bestemmie per i ritardatari che hanno letto $a+b$ al posto di $a-b$.

Mea culpa.. ma piu' di scriverlo in rosso della prima serata, metterci un messaggio apposta, e cambiare il file allegato, non avrei saputo che fare

[Troleito br00tal]

Sìsì fa niente, solo che è stato abbastanza bislacco vederlo adesso

[Troleito br00tal]

Beh dai già che ci sono rilancio br00talmente.

Supponiamo che $m$ e $n$ non siano necessariamente dispari. Trovare tutte le colorazioni per cui la tesi è falsa.

[jordan]

Non sarebbe male se qualcuno provasse a risolvere almeno il testo originale, per cominciare..

[Troleito br00tal]

K.

Testo nascosto:

Intanto notiamo che $m$;$n$;$m+n$;$0$ sono di colore diverso tra di loro, quindi supponiamo che $0$ sia rosso e vogliamo che tutte le differenze fra numeri dello stesso colore diano un numero rosso.
Pure $m-n$ non deve essere rosso, altrimenti ho 4 colori che non posso ottenere come differenze e sono abbastanza fottuto.
Adesso, per pigeon hole $\frac{INFINTO}{4}$, esisterà almeno un colore formato da infiniti numeri, ergo infinite differenze, ergo infiniti numeri rossi.
Adesso chiamo $x;y$ due di quei numeri (rossi) e prendo $-x;-y$, anch'essi rossi, così posso scrivere ogni loro combinazione lineare e per Bezout tutti i multipli dell'MCD.
Se ovviamente esistono numeri rossi che non sono multipli del mio MCD li "combino" e ottengo i multipli dell'MCD dell'MCD (cosa?), comunque essenzialmente avrò un numero $d$ tale che i numeri rossi sono tutti e soli i suoi multipli.
Per pigeon hole $d$ deve essere $<5$, perché potrei prendere ad esempio: $1;d+2;2d+3;3d+4$, almeno una coppia ha lo stesso colore, ma la differenza non appartiene ai multipli di $d$.
Per quanto riguarda i casi piccoli:
-$d=4$, utilizzo la disparità di $m;n$ per considerazioni su $m-n$ e $m+n$ (è assurdo se uno dei due è rosso)
-$d=3;2;1$ vengono sempre a conticini piccolini senza usare la disparità

Cordiali regards