)Determinare tutte le funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ che soddisfano
$$\displaystyle f(x^2)-f(y^2)=(x-y)[f(x)+f(y)]$$
per ogni scelta di $x$ e $y \in \mathbb{R}$
Funzionale molto semplice
Funzionale molto semplice
Pensavo di mettere questa nella staffetta, ma dato che erano tante volte che c erano funzionali ho messo una disuguaglianza e vabe.. Comunque questa l'ho inventata io (e infatti e semplice )
Determinare tutte le funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ che soddisfano
$$\displaystyle f(x^2)-f(y^2)=(x-y)[f(x)+f(y)]$$
per ogni scelta di $x$ e $y \in \mathbb{R}$
)Determinare tutte le funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ che soddisfano
$$\displaystyle f(x^2)-f(y^2)=(x-y)[f(x)+f(y)]$$
per ogni scelta di $x$ e $y \in \mathbb{R}$
Re: Funzionale molto semplice
Proviamo...
Pongo x=1 e y=0 , da cui $f(1)-f(0)=f(1)+f(0)$ da cui f(0)=0.
Se y=0 abbiamo $xf(x)+xf(0)=f(x^2)-f(0)$ cioè $f(x^2)=xf(x)$
Tornando nell'espressione iniziale, abbiamo $f(x^2)-f(y^2)=xf(x)+xf(y)-yf(x)-yf(y)=f(x^2)+xf(y)-yf(x)-f(y^2)$ ovvero $xf(y)=yf(x)$. Ponendo y=1, ottengo $f(x)=xf(1)$ e chiamando c=f(1), ricavo la soluzione
$f(x)=cx , \forall x \in \mathbb{R}$
Sostituisco e vedo che funziona.
Pongo x=1 e y=0 , da cui $f(1)-f(0)=f(1)+f(0)$ da cui f(0)=0.
Se y=0 abbiamo $xf(x)+xf(0)=f(x^2)-f(0)$ cioè $f(x^2)=xf(x)$
Tornando nell'espressione iniziale, abbiamo $f(x^2)-f(y^2)=xf(x)+xf(y)-yf(x)-yf(y)=f(x^2)+xf(y)-yf(x)-f(y^2)$ ovvero $xf(y)=yf(x)$. Ponendo y=1, ottengo $f(x)=xf(1)$ e chiamando c=f(1), ricavo la soluzione
$f(x)=cx , \forall x \in \mathbb{R}$
Sostituisco e vedo che funziona.
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $