Relazione funzionale

Spider · Messaggio da **Spider** » 01 gen 1970, 01:33

Trovare tutte le funzioni da R in R tali che per ogni x si abbia:
 
 f(x^2 + 1) = (f(x))^2 + 1
 
 A me non riesce (l\'ho inventato stamattina).
 Consigli?
 
 Ciao, Spider

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

la funzione è pari o dispari
 infatti si ha f(-x)^2+1=f(x^2+1)=f(x)^2+1 da cui
 f(x)=f(-x) oppure f(x)=-f(-x)
 - se la f è dispari si ha
 f(0)=-f(0) da cui f(0)=0
 x induzione si può allora dimostare che per ogni n naturale esprimibile come m^2+1 ==> f(n)=n e penso che la funzione identica sia l\'unica soluzione
 per ora nulla più
 bye

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> Poi dici a me che penso subito a fare gli esercizi... Tu te li inventi !!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 Cmq penso che l\'unica sol sia f(x)=x;

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Per lo meno è soluzione anche |x|

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Vorrei far notare un paio di cose.
 
 1) Per Talpuz: f2(x)=f2(-x) NON implica affatto che f è pari o dispari! Considera ad esempio la funzione che vale 1 per x=0 e che vale x per x diverso da 0. Di conseguenza, non è dimostrato che f(n2+1)=n2+1.
 
 2) Oltre a f(x)=x e f(x)=|x|, vi sono altre infinite soluzioni. Sia P(x)=x2+1. Allora, tutte le funzioni polinomiali del tipo P(P(P(...P(x)...))) sono soluzioni accettabili.[addsig]

Spider · Messaggio da **Spider** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 infatti si ha f(-x)^2+1=f(x^2+1)=f(x)^2+1 da cui
 f(x)=f(-x) oppure f(x)=-f(-x)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Mmm non ci sono su questo passaggio... Puoi affermare che che, per ogni x, sia
 
 f(-x)^2 = f(x)^2
 
 e quindi
 
 f(-x) = +-f(x)
 
 Ma ciò non implica che la funzione sia pari o dispari. In effetti, come mi ha fatto notare il prof Francini cui ho mandato un\'e-mail, soddisfano l\'equazione \"tutte le funzioni che, per x negativo, assumono i valori + e -x (variando arbitrariamente)\".
 Altre soluzioni riportatemi dal prof, sono quelle h(x) = x^2 + 1, e poi anche h(h(x)), h(h(h(x))), etc.
 
 Ciao, Spider

Spider · Messaggio da **Spider** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> Poi dici a me che penso subito a fare gli esercizi... Tu te li inventi !!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Con una differenza, cioè che io li invento a scuola durante l\'ora di matematica (o anche durante le altre <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">), mica mi metto a fare problemi dopo 2 giorni dallo stage! Ormai è passata + di una settimana, il cervello ricomincia a funzionare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Cmq penso che l\'unica sol sia f(x)=x;
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Mi sa di no... leggi sopra.
 
 Ciao, Spider

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beh, f(x)=x è dispari, e |x| e x^2+1 sono pari, no? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 avete ragione, scherzi a parte
 comunque, se tra le ipotesi ci fosse stata la continuità della funzione, quello che ho scritto sarebbe stato valido? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 26-10-2003 19:26 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-10-26 19:20, talpuz wrote:
 comunque, se tra le ipotesi ci fosse stata la continuità della funzione, quello che ho scritto sarebbe stato valido?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 No! Prendi ad esempio f(x)=|sin(x)| per x>=0 e f(x)=sin(x) per x<0.
 La vuoi anche derivabile infinite volte? Niente di più semplice, prendi la funzione identicamente nulla, falle 2 \"gobbette\" positive (e infinitamente derivabili) in x>0, e rifalle in x<0 una dritta e una ribaltata (in modo che conservino la derivabilità).

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Purtroppo, le soluzioni di questa relazione funzionale sono ben più che numerabili, anzi, hanno cardinalità maggiore del continuo! E questo gioca indubbiamente a sfavore della bellezza e della olimpionicità del problema... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 Orbene, eravamo arrivati a dire che se P(x)=x2+1, allora P composta a sè stessa n volte, ovvero P(n)(x), per ogni n naturale, è soluzione (s\'intende P(0)(x)=x).
 
 Ma non basta: sia g(x) una funzione reale tale che g2(x)=g(x2+1)=1. Allora, tutte le funzioni del tipo
 f(x) = g(x) P(n)(x)
 sono accettabili (la verifica è semplice...).
 
 Ora, vediamo quali sono queste funzioni g(x): sicuramente g assume solo i valori +1 e -1, ed inoltre per x>=1 dev\'essere g(x)=1. Ma per x<1, il valore di g(x) può essere scelto arbitrariamente tra +1 e -1, e questo dà luogo ad un insieme di soluzioni di cardinalità maggiore del continuo.
 
 Oltre a queste soluzioni, suppongo ve ne siano \"molte\" altre: ad esempio, provando f(0)=3 ed andando avanti, direi che si trova un\'altra soluzione completamente diversa...[addsig]

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-10-27 07:38, Antimateria wrote:
 Purtroppo, le soluzioni di questa relazione funzionale sono ben più che numerabili, anzi, hanno cardinalità maggiore del continuo!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 come puoi affermarlo, o meglio dimostrarlo?

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Ecco, ho trovato finalmente un modo per caratterizzare tutte le funzioni che verificano la relazione (ovviamente non esiste una formula per esprimerle tutte!).
 
 I gradi di liberta\' sono veramente molti: possiamo scegliere del tutto arbitrariamente i valori di f in [0,1). In questo modo, i valori di f in [1,2) risultano forzati, e questi a loro volta forzano i valori in [2,5), etc. Insomma, f risulta automaticamente definita per ogni x>=1 (in funzione dei valori in [0,1)), in modo univoco e senza contraddizioni. Per x<0, basta scegliere f(x)=+-f(-x), anche qui con segno arbitrario. La verifica che tutto questo non genera contraddizioni e\' immediata.
 
 Per rispondere a Psion, il fatto che le soluzioni abbiano cardinalita\' maggiore del continuo e\' ovvio dal fatto che sono almeno (e quindi esattamente) #(R)#([0,1)) >= 2#(R) > #(R) (dove # indica la cardinalita\').
 [Quel \"(e quindi esattamente)\" deriva dal fatto che le funzioni da R a R sono #(R)#(R) = 2#(R).][addsig]

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

grazie Anti ho capito e la cardinalità
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 2#(R).]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 è il 3 numero transfinito di cantor? è stata studiata da qualcuno? (x studiata intendo se ha proprietà particolari, o qualsiasi cosa che la cartterizzi, qualsiasi relazione, o semplicemente i matematici si sono fermati a definirla?)

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 è stata studiata da qualcuno?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Di sicuro, non da me <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Spider · Messaggio da **Spider** » 01 gen 1970, 01:33

Che sono i numeri transfiniti? Non è la prima volta che li sento nominare...