71. Da un minimo a un massimo

[Ido Bovski]

Per un dato intero $n\ge 1$ determinare il massimo valore che può assumere la funzione
$$f(x)=\frac{x+x^2+\cdots+x^{2n-1}}{(1+x^n)^2}$$
al variare di $x\in (0, \infty)$. Determinare inoltre tutti gli $x>0$ per cui il massimo viene raggiunto.

[machete]

Dato che non procede pubblico una cosa sostanzialmente ovvia che ho notato e magari qualcuno riuscirà ad usare meglio di quanto ci riesca io! >.< (magari non serve proprio a nulla)

$ \displaystyle f(x)=f\bigl( \frac{1}{x}\bigl) $

sostituendo si verifica che è vera!

[mat94]

Ci provo .....
Sia x=M il valore della x per cui la funzione assume il suo massimo. Dato che f(x)=f(1/x) si ha che f(M)=f(1/M), ma il massimo di tale funzione è unico quindi si deve avere che M=1/M . Dato che cerchiamo tra le x positive, tale valore può essere solo M=1 . Sostituendo x=1 si ottiene che il massimo è f(1)=(2n-1)\4 .

[jordan]

ma il massimo di tale funzione è unico

Perchè?

[mat94]

C'è un modo di dimostrarlo senza derivate? Il resto funziona ?

[Ido Bovski]

C'è un modo di dimostrarlo senza derivate? Il resto funziona ?

Certo che c'è una soluzione elementare, altrimenti non sarebbe qui il problema. Comunque non so quanto possa essere utile che $f(x)=f(1/x)$ a parte suggerirti che ci si può aspettare che il max sia effettivamente $f(1)=(2n-1)/4$... e già ho detto troppo.

[mat94]

Per AM-GM si ha $ (1+x^n)^2 \geq 4x^n $
Quindi $ f(x)=x+x^2+⋯+x^(2n−1)/(1+x^n)^2 \leq f(x)=x+x^2+⋯+x^(2n−1)/4x^n

$
L'uguaglianza e quindi il massimo si ha quando x^n=1 , e quindi x=1. Sostituiamo e troviamo f(1)=2n-1/4
Può funzionare?

[jordan]

L'uguaglianza e quindi il massimo si ha quando $x^n=1$

Perchè?

[mat94]

Perché per AM-GM il l'uguaglianza si ottiene quando i termini sono uguali e il massimo di f(x) si ottiene con l'uguaglianza nella disuguaglianza

[jordan]

Perché per AM-GM il l'uguaglianza si ottiene quando i termini sono uguali e il massimo di f(x) si ottiene con l'uguaglianza nella disuguaglianza

Spetta: hai detto che $f(x) \le g(x):=\frac{x+x^2+\ldots+x^{2n-1}}{4x^n}$ e questa è vera per am-gm, giusto (con uguaglianza nel caso $x=1$).

Ora, come trovi il massimo di $g(x)$?

[mat94]

Ma non devo trovare il minimo di g(x) ? Cioè f(x) è minore stretto di g(x) tranne quando si ha l'uguaglianza delle medie?

[jordan]

Te hai mostrato che $f(x) \le g(x)$ per ogni $x>0$, non che $f(x) \le \min_{x>0}\{g(x)\}$..

[mat94]

Non ho capito bene ciò che dovrei fare poiché io volevo dimostrare che f(x) è massimo quando g(x) è minimo e non ci sono riuscito ... (F(x) è massima per x=1 e g(x) dovrebbe essere minima per x=1 e massima per x che tende a 0 e per x che va a +oo )

[jordan]

(f(x) è massima per x=1 e g(x) dovrebbe essere minima per x=1

g(x) è minima per x=1, è vero, ma non l'hai ancora dimostrato; f(x) massima per x=1 è il testo del problema stesso.
Cio' che tu hai fatto finora è soltanto mostrare che $f(x) \le g(x)$ per ogni $x$. Se riusciresti a mostrare (e non sto dicendo che sia la strada che porta alla soluzione!) che $g(x) \le \frac{2n-1}{4}$, allora in quel caso potresti concludere che $f(x) \le g(x) \le \frac{2n-1}{4}$ per ogni $x$..

[patatone]

dato che nessuno risponde e io ho tempo da perdere piazzo la mia orrenda soluzione. Premetto che paradossalmente con le derivate non sono riuscito a farlo perchè veniva un obrobrio mai visto.
Allora riscrivo la funzione come:
$\displaystyle f(x)=\frac {x+x^2...+x^{n-1}}{1+x^n}+\frac {x^n}{(1+x^n)^2}$
Il secondo addendo è $\le \frac 1 4$ per AM-GM.
Per minimizzare il primo addendo notiamo che $x^i+x^{n-i}\le 1+x^n$ per AM-GM pesata o più semplicemente per riarrangiamento ($(x^i-1)(x^{n-i}-1)\ge 0$), quindi:
$\displaystyle \frac {x+x^2...+x^{n-1}}{1+x^n}\le \frac {n-1}{2}$
$\displaystyle f(x)\le \frac {n-1} 2+\frac 1 4=\frac {2n-1} 4$ con uguaglianza solo se $x=1$