Disuguaglianza molto facile

[mat94]

Siano x e y reali positivi e posto x+y=2a dimostrare la disuguaglianza $ x^3y^3(x^2+y^2)^2\leq 4a^{10} $ . Quando si ha l'uguaglianza?

[Sir Yussen]

Sostituiamo $a=\frac{x+y}{2}$ e otteniamo $4 (\frac{x+y}{2})^{10} \geq x^3y^3(x^2+y^2) $.
Per AM-GM abbiamo che $(\frac{x+y}{2})^6 \geq x^3y^3 $
E poi, banalmente $ 4(\frac{x+y}{2})^4 \geq x^2+y^2 \Rightarrow (x+y)^4 \geq 4x^2 + 4y^2$.
L'uguaglianza si ha con $ x = y = 0$ perchè per la prima equazione, in AM-GM l'uguaglianza si ha solo con tutti i termini uguali, ovvero $x=y$, e il loro assumere $0$ come valore si ha dallo svolgere della quarta potenza del LHS nella seconda equazione dove si ottiene un coso enorme in $(x,y)$, e che si annulla solo con $x=y=0$ dato che $x,y > 0$ .

[mat94]

Direi che l'uguaglianza si ottiene per x=y=a ...

[Sir Yussen]

Ehm sicuro? Magari mi sbaglio, ma nella seconda delle diseguaglianze, con $x=y=a$ si ha:
$$ (2a)^4 \geq 4(a^2) \Rightarrow 16a^4 \geq 4a^2 \Rightarrow 4a^2 \geq 1 $$
poichè $a$ è positivo. E da qui, in riparazione al mio post di prima, $x=y=1/2$ (e non $x=y=0$ che sarebbe pure soluzione se non fosse che x,y sono positivi).

[mat94]

Come la dimostri la seconda disuguaglianza ? Comunque si x=y=a poiché per AM-GM x=y e per il vincolo sono uguali ad a.

[snake]

Come la dimostri la seconda disuguaglianza ? Comunque si x=y=a poiché per AM-GM x=y e per il vincolo sono uguali ad a.

Poi che tutte le x=y=a vadano bene si vede anche dalla disuguaglianza iniziale..

Comunque la seconda disuguaglianza "banalmente" vera non mi torna

[mat94]

Infatti non lo è, se provi a mettere valori minori di 1 non è verificata...

[Sir Yussen]

L'ho data per scontata perchè ho "immaginato" non so perchè $4x^2 + 4y^2$ parte dello svolgimento della potenza nel LHS, pardòn.