137. Esponenziale irrazionale (ma non troppo)

[Clausewitz]

Dimostrare che esiste un $n\in \mathbb{N}$ tale che
\begin{equation*}
\lfloor \frac{1}{2}(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n\rfloor
\end{equation*}
finisca con m zeri per ogni $m\in \mathbb{N}$.

[jordan]

Abbiamo \[ \frac{1}{2}\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\frac{1}{2}\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n:=x_n \] dove $x_0=1, x_1=3/2$ e \[ x_n=3x_{n-1}-x_{n-2} \text{ per ogni }n\ge 2. \]

E' facile notare che $x_n \in \mathbb{N}$ se e solo se $3\mid n$. Per cui definiamo \[ y_n:=x_{3n}\text{ per ogni }n \in \mathbb{N}.\]

Le radici della caratteristica della ricorsione di $y_n$ sono $\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^3$ e $\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^3$ da cui, visto che $y_0=1,y_1=9$:

\[ y_n= 18y_{n-1}-1 \text{ per ogni }n \ge 2 .\]

Ora, vogliamo mostrare che per ogni intero $m\ge 0$, esiste un intero $n$ tale che $y_n-1$ termina con $m$ zeri, i.e. $y_n$ finisce con $\overline{000\ldots 01}$, dove ci sono $m-1$ zeri. Ma $\{y_n\}$ è una successione di interi, ed è definitivamente periodica modulo $k$, per ogni intero $k\ge 1$, e dal momento che $y_0=1$, allora esisteranno infiniti interi $n$ tali che $y_n \equiv 1 \pmod k$.

La tesi segue fissando $k=10^m$. []