Da un triangolo ad un quadrato ad un cerchio.

[Mist]

Si considerino quattro triangoli rettangoli congruenti. Li si disponga in modo da formare un quadrato di lato pari all'ipotenusa dei triangoli dati e in modo tale che i punti in cui tali triangoli sono retti siano interni a tale quadrato. Sia $r$ l'inraggio dei triangoli rettangoli iniziali, sia $R$ il raggio del cerchio inscritto nel quadrato più piccolo che si forma all'interno della figura ottenuta seguendo le istruzioni. Nel caso in cui $R=r$, trovare $r$ in funzione di $l$.

è caruccio, non è complicato e il testo è incasinato, ma non avevo lo scanner per fare la figura quindi se non capite il testo chiedete pure.

[Hawk]

Si nota che detti $ c $ il cateto più piccolo e C il più grande $ C=c+2r $.
Sia $ l $ l'ipotenusa dei triangoli rettangoli allora vale: $ r=\frac{2c+2r-l}{2} $ per cui $ c=\frac{l}{2} $. I triangoli sono cioè meta di triangoli equilateri. Per cui si ha che $ r=\frac{\frac{l\sqrt 3}{2}-\frac{l}{2}}{2}=\frac{l(\sqrt 3 -1)}{4} $.