OliForum Matematico

Premetto di non avere la soluzione, comunque la posto uguale ( giusto per spezzare il monopolio di Jordan con i suoi problemi impossibili )
Trovare tutti gli interi $ x,y,z $ tali che
$ 5x^2-14y^2=11z^2 $

Analizza modulo $ 7 $ e usa la discesa infinita. Scoprirai che oltre alla soluzione banale $ (0,0,0) $ non ce ne sono altre.

Ok, anche a me torna così (Ho usato modulo 4, poi 8 in un caso).
Domanda OT: come faccio a capire grosso modo che modulo usare? (lo so che è una domanda stupida, comunque volevo sapere magari qualche trucchetto )

Triarii ha scritto:comunque volevo sapere magari qualche trucchetto

Il modo migliore è sbattere la testa con parecchi esercizi, visto che non esiste una risposta standard alla tua domanda..

Modulo 3,4,8 in genere per esponenziali, per diofantee di secondo grado per esempio a parte, si modulo 4,8, il modulo dei coefficienti. Di terzo grado modulo 7,9. Poi comunque vedi un po tu di adeguarti al caso.

Ok grazie Lez
@Jordan eh sì mi sa anche a me che quella è l'unica via davvero per imparare qualcosa

Scusate l'ignoranza... Ma se da
$ 5x^2-14y^2=11z^2 $
ottengo analizzando modulo $ 7 $
$ 5x_1^2-14y_1^2=11z_1^2 $

Con $ x_1=\frac{x}{49} $, $ y_1=\frac{y}{49} $, $ z_1=\frac{z}{49} $,
Ottengo quello che voi avete chiamato "discesa infinita"... In sostanza che per avere soluzioni sia $ x $, sia $ y $, sia $ z $, devono avere fattore primo $ 7 $ con esponente infinito... Quindi vale solo la terna $ (0, 0, 0) $.
Corretto il ragionamento?

Scusate la domanda da n00b, ma cos'è questa discesa infinita?

Sir Yussen ha scritto:Scusate la domanda da n00b, ma cos'è questa discesa infinita?

Da "noob", hai tutta la mia stima xD
Ps. Vedi qui.

(correggetemi se sbaglio) Nel nostro caso (usando opportuni moduli 2, 4 e 8 [potevi pure fare modulo 7 Lez style]) giungevamo alla conclusione che, analizzando suddette congruenze, l'unico caso possibile era quello in cui $ x,y,z $ fossero tutti multipli di 2. (negli altri casi le congruenze non tornavano)
Sostituendo le variabili rispettivamente con 2l,2m,2n, ottenevamo $ 5*4l^2-14*4m^2=11*4z^2 $.
Dividiamo dunque tutto per 4, ottenendo $ 5l^2-14m^2=11n^2 $. Questa equazione è esattamente identica a quella di partenza. Dunque, ragionando sempre in discorsi di congruenze, l'unico caso possibile è quello in cui le variabili siano multiple di 2. Questo ragionamento procede all'infinito come avrai già intuito, perchè alla fine di ogni passaggio otteniamo sempre la stessa equazione. Dunque diciamo che $ 2^k\mid \ x $ per ogni $ k $ naturale. L'unico numero che rispetta la condizione è 0. Compiendo lo stesso ragionamento per le altre 2 variabili otteniamo che l'unica tripletta è $ (0;0;0) $

Sarò stupido... ma come fai a provare utilizzando solo modulo 7 che anche $y \equiv 0$?

Ok, risolto.

jordan ha scritto:

Sir Yussen ha scritto:Scusate la domanda da n00b, ma cos'è questa discesa infinita?

Da "noob", hai tutta la mia stima xD
Ps. Vedi qui.

Che figata! Devo dire che a volte m'è capitato di voler dimostrare na cosa facendo vedere che per ottenere na soluzione bisogna "crescere" ancora aumentandone la divisibilità all'infinito, ma non pensavo fosse un qualcosa che funziona/ritenuta lecita per dimostrare..

Per la serie: La funzione Cerca è tua amica.

Qui, qui e pure qui (solo nel Glossario) si parla della discesa infinita.

Triarii ha scritto:(correggetemi se sbaglio) Nel nostro caso (usando opportuni moduli 2, 4 e 8 [potevi pure fare modulo 7 Lez style]) giungevamo alla conclusione che, analizzando suddette congruenze, l'unico caso possibile era quello in cui $ x,y,z $ fossero tutti multipli di 2. (negli altri casi le congruenze non tornavano)
Sostituendo le variabili rispettivamente con 2l,2m,2n, ottenevamo $ 5*4l^2-14*4m^2=11*4z^2 $.

Ehm.. C'è qualcosa che non mi torna. Se fossero entrambi dispari?! $ 7x^2-6y^2=z^2 $ ha come terna $ (1,1,1) $

? non capisco proprio che vuoi dire...