Densità asintotica

[jordan]

Premesse. Siano $ \mathbb{N} $ l'insieme degli interi positivi, $ B $ un suo sottoinsieme, $ \Omega_b \subseteq \mathbb{Z} / b \mathbb{Z} $ per ogni $ b \in B $ e

• $ S = \{n \in \mathbb{N} : \forall b \in B \quad (n \bmod b) \notin \Omega_b\} $,

cioè $ S $ è l'insieme degli interi positivi "crivellato" degli interi in certe classi di resto modulo $ b \in B $. Poniamo per comodità

• $ S_b := \{n \in \mathbb{N} : (n \bmod b) \in \Omega_b\} $,

per ogni $ b \in B $, mentre $ A(x) := |A \cap [1,x]| $ per ogni $ A \subseteq \mathbb{N} $ e $ x \geq 1 $. Siamo interessati a capire quanto $ S $ ammette densità asintotica, ovvero quando esiste $ {\displaystyle\lim_{x \to \infty}} S(x) / x $.

Problema. Se $ B $ è finito allora $ S $ ha densità asintotica.