Sia ABC un triangolo isoscele con AB=AC, sia D il punto medio di BC, sia E il piede della perpendicolare condotta da D su AC e F il punto medio di DE. Dimostrare che AF è perpendicolare a BE.
44. Triangolo isoscele
44. Triangolo isoscele
Ne metto uno molto facile
Sia ABC un triangolo isoscele con AB=AC, sia D il punto medio di BC, sia E il piede della perpendicolare condotta da D su AC e F il punto medio di DE. Dimostrare che AF è perpendicolare a BE.
Sia ABC un triangolo isoscele con AB=AC, sia D il punto medio di BC, sia E il piede della perpendicolare condotta da D su AC e F il punto medio di DE. Dimostrare che AF è perpendicolare a BE.
Re: 44. Triangolo isoscele
Allora, chiamo H la perpendicolare da B ad AC. Vale quindi per parallelismo tra BH ed DE $ \widehat{EBH}=\widehat{DEB} $, definisco $ BH\cap AF=T $,$ AF\cap BE=S $. Per differenza angolare vale $ \widehat{BTS}= \widehat{EFS} $, il triangolo FEA è rettangolo per ipotesi per cui $ \widehat{FAE}=90-\widehat{BTS} $. Adesso poichè il triangolo BEH è rettangolo si ha $ \widehat{BEH}=90-\widehat{EBH} $. Perciò $ \widehat{FSE}=180-\widehat{ASE}=\widehat{BTS}+\widehat{EBH} $. Deve valere per la somma degli angoli interni al triangolo ESF: $ 2(\widehat{BTS}+\widehat{EBH})=180 \Rightarrow \widehat{BTS}+\widehat{EBH}=90 $, che praticamente è la tesi.
Con tutte queste lettere spero di non aver commesso errori.
Con tutte queste lettere spero di non aver commesso errori.
Ultima modifica di Hawk il 11 feb 2013, 21:54, modificato 1 volta in totale.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: 44. Triangolo isoscele
Il testo chiamava D il punto medio, ma M va bene lo stesso xD per il resto tutto ok, molto semplice come problema, si poteva anche risolvere con i vettori o in analitica 
Re: 44. Triangolo isoscele
Ho cambiato le M 
, adesso vedo di mettere il prossimo.
, adesso vedo di mettere il prossimo.« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: 44. Triangolo isoscele
(castroneria cancellata)
Per fortuna che la notte mi ha fatto capire della cazzata fatta...
Per fortuna che la notte mi ha fatto capire della cazzata fatta...
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
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Ido Bovski
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Re: 44. Triangolo isoscele
La dimostrazione di Hawk è sbagliata, o perlomeno incompleta
Tra l'altro mi sembra che non usi neanche tutte le ipotesi...
Qui cos'hai fatto? Da quello che hai detto in precedenza puoi soltanto dedurre che $ \widehat{FSE}=180-(\widehat{BTS}+\widehat{EBH}) $.Hawk ha scritto:$ \widehat{FSE}=180-\widehat{ASE}=\widehat{BTS}+\widehat{EBH} $
Tra l'altro mi sembra che non usi neanche tutte le ipotesi...
Re: 44. Triangolo isoscele
Si hai ragione, in effetti, come al solito, ho sbagliato pure a fare la differenza di angoli. Vabbè per la soluzione sintetica ci ripenso, nel frattempo metto almeno questa, la prima che avevo fatto, in analitica.
Introduco un sistema di assi cartesiani e dispongo il mio triangolo isoscele in modo che A appartenga all'asse y. Quindi $ A(0,y_0) $, $ B(-x_0,0) $, $ C(x_0,0) $ e perciò $ D(0,0) $.
La retta AC ha equazione $ y=\dfrac{-y_0}{x_0}x+y_0 $, la retta DE ha come coefficiente angolare l'antireciproco di quello della retta AC per cui si ha che la retta DE ha equazione: $ y=\dfrac{x_0}{y_0}x $. Troviamo quindi le coordinate del punto E. Sostituendo si ottiene $ E\left(\dfrac{y_0^2\cdot x_0}{x_0^2+y_0^2},\dfrac{x_0^2\cdot y_0}{x_0^2+y_0^2}\right) $. Quindi $ F\left(\dfrac{y_0^2\cdot x_0}{2x_0^2+2y_0^2},\dfrac{x_0^2\cdot y_0}{2x_0^2+2y_0^2}\right) $.
Adesso confrontiamo i coefficienti angolari delle rette BE ed AF, se sono uno l'antireciproco dell'altro la tesi è verificata. $ m_{BE}=\dfrac{x_0\cdot y_0}{2y_0^2+x_0^2} $ mentre $ m_{AF}=-\dfrac{2y_0^2+x_0^2}{x_0\cdot y_0} $, per cui la tesi è verificata.
Introduco un sistema di assi cartesiani e dispongo il mio triangolo isoscele in modo che A appartenga all'asse y. Quindi $ A(0,y_0) $, $ B(-x_0,0) $, $ C(x_0,0) $ e perciò $ D(0,0) $.
La retta AC ha equazione $ y=\dfrac{-y_0}{x_0}x+y_0 $, la retta DE ha come coefficiente angolare l'antireciproco di quello della retta AC per cui si ha che la retta DE ha equazione: $ y=\dfrac{x_0}{y_0}x $. Troviamo quindi le coordinate del punto E. Sostituendo si ottiene $ E\left(\dfrac{y_0^2\cdot x_0}{x_0^2+y_0^2},\dfrac{x_0^2\cdot y_0}{x_0^2+y_0^2}\right) $. Quindi $ F\left(\dfrac{y_0^2\cdot x_0}{2x_0^2+2y_0^2},\dfrac{x_0^2\cdot y_0}{2x_0^2+2y_0^2}\right) $.
Adesso confrontiamo i coefficienti angolari delle rette BE ed AF, se sono uno l'antireciproco dell'altro la tesi è verificata. $ m_{BE}=\dfrac{x_0\cdot y_0}{2y_0^2+x_0^2} $ mentre $ m_{AF}=-\dfrac{2y_0^2+x_0^2}{x_0\cdot y_0} $, per cui la tesi è verificata.
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Re: 44. Triangolo isoscele
Mi permetto di aggiungere un piccolo bonus a parer mio interessante (sempre che sia corretto):
Dimostrare che $ \Delta DAF\sim \Delta BCE $
Se non è vero fermatemi prima che questa mia convinzione mi pervada l'anima
Dimostrare che $ \Delta DAF\sim \Delta BCE $
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and then there was light.
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