Sullo scambio di monete

[Hawk]

In quanti modi posso ottenere 1 euro se ho solo monete da 1,2 e 5 centesimi?

Senza usare le generatrici, io avevo pensato ad una cosa del genere:
Posso esprimere il numero 5 in funzione delle monete da 1 e 2 in tre modi e cioè: $ 5=1+1+1+1+1 $, $ 5=2+1+1+1 $, $ 5=2+2+1 $.
Adesso 1 euro è composto esattamente da 20 monete da 5 centesimi. Adesso posso conteggiare i vari casi in questo modo:
1) tolgo una moneta da 5 e la sostituisco con uno dei tre casi e quindi ho gia tre possibili modi di formare un euro;
2) ne tolgo 2 di monete da 5 e questo lo posso fare in $ \dbinom{3+2-1}{2}=6 $ modi diversi,
Itero il procedimento fino a levare tutte le monete. Quindi il risultato, se il ragionamento fosse giusto dovrebbe essere, $ \displaystyle\sum_{k=0}^{20}\dbinom{2+k}{k}=\dbinom{23}{20}=1771 $, che è troppo rispetto al risultato corretto 541, dov'è l'intoppo?

[auron95]

Perchè usi il binomiale? Il modo di scrivere $n$ centesimi con monete da 2 e da 1 dovrebbe essere $\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + 1$ (le diverse quantità di monete da 2 cent che puoi scegliere)....

[Hawk]

Ho usato il binomiale per questo motivo:
Faccio il caso in cui devo cambiare due monete da 5 centesimi.
Io ho tre modi di cambiare una moneta da 5 centesimi, questi tre modi, tutti diversi, li chiamo $ a,b,c $. Per cui se cambio le due monete come $ (a,a);(b,b);(c,c);(a,c);(b,c);(c,a) $ che sono sei modi diversi di farlo. Non capisco dove sta l'errore nel ragionamento, spero che qualcuno riesca a spiegarmelo.
Infatti anche con la tua formula viene 6.

[auron95]

E' solo un caso che corrisponda, infatti tu non consideri il cambio 2-2-2-2-2, perchè non è una combinazione di due cambi di 5 monete, ma conti due volte 2-2-1-1-1-1-1-1, come (2-2-1)+(1-1-1-1-1) e anche come (2-1-1-1)+(2-1-1-1).
Se provi con 15 cent ti vengono due risultati diversi infatti tu conti $\binom{5}{3}$ combo, ma ce ne sono solo 8:
7x(2cent)+1x(1cent); 6x(2cent)+3x(1cent); ... ; 1x(2cent)+13x(1cent); 15x(1cent).