Polinomio ternario
Polinomio ternario
Supponiamo che $$ \prod_{n=1}^{1996} (1 + nx^{3^{n}}) = 1 + a_{1} x^{k_{1}} + a_{2} x^{k_{2}} + \cdots + a_{m} x^{k_{m}} $$ dove $a_{1}$, $a_{2}$,..., $a_{m}$ sono non nulli e $0<k_{1}< k_{2} < \cdots < k_{m}$. Trovare $a_{1996}$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Polinomio ternario
Mi spiace scrivere qui il mio primo post, ma vado davvero di fretta, mi presenterò un altro giorno!
Io ragionerei così:
il k-esimo esponente dipende dal coefficiente della x elevata al 1996esimo numero che creo posizionando le somme delle potenze di tre (da 3^1 fino a 3^1996) in ordine crescente. Giacché, per ogni potenza, posso inserire o meno questa nella somma, contando in base 3 (cosa che mi è apparsa piuttosto utile), il numero che otterrò (ossia k1996) sarà [11111000110] (base3).
Di conseguenza, nel prodotto, prenderò il coefficiente di 3^11, di 3^10, di 3^9, ^8, ^7, ^3 e ^2 e poi tutti gli "1" nelle altre parentesi. a1996 dovrebbe perciò essere il prodotto di questi coefficienti, 332640. Scusate ma ancora non so usare i simboli, imparerò col tempo xD. Fatemi sapere se non vi convince..!
Io ragionerei così:
il k-esimo esponente dipende dal coefficiente della x elevata al 1996esimo numero che creo posizionando le somme delle potenze di tre (da 3^1 fino a 3^1996) in ordine crescente. Giacché, per ogni potenza, posso inserire o meno questa nella somma, contando in base 3 (cosa che mi è apparsa piuttosto utile), il numero che otterrò (ossia k1996) sarà [11111000110] (base3).
Di conseguenza, nel prodotto, prenderò il coefficiente di 3^11, di 3^10, di 3^9, ^8, ^7, ^3 e ^2 e poi tutti gli "1" nelle altre parentesi. a1996 dovrebbe perciò essere il prodotto di questi coefficienti, 332640. Scusate ma ancora non so usare i simboli, imparerò col tempo xD. Fatemi sapere se non vi convince..!