Somma di 1/lcm

[jordan]

Sia data una sequenza finita di interi $0<a_0<a_1<\ldots<a_n$. Mostrare che \[ \sum_{i=0}^{n-1}{\frac{1}{\text{lcm}(a_i,a_{i+1})}}<1\]

[Sir Yussen]

TAA4Z (Teorema avanzato di analisi 4 su $\mathbb{Z}$): Siano $a,b$ due interi positivi tali che $a<b$. Allora, fissando $a$,il loro minimo comune multiplo più piccolo possibile ottenibile si ha quando $b=2a$ (ovvero quando $\frac{lcm(a,b)}{a}$ è il più piccolo possibile).

Detto ciò, ogni termine della sommatoria è inversamente proporzionale al denominatore (madai?). Per il LEMMA, fissando $a_0$, la massima sommatoria si avrà quindi per $a_i = a_0 \cdot 2^i$. Non ci resta che massimizzare Quellasomma fissando
$a_0=1$ e ottenendo quindi la sequenza $1,2,4,8,16 \cdots$ e quindi sommatoria del tipo $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^n}$.
E quindi, $Quellasomma \leq S < 1$, ed $S \leq 1$ la do per nota scansandomi l'induzione.. (p.s. posso dare per noto in gara che $\sum{\frac{1}{m^i}} <1$ ?)

[jordan]

piu' semplice del previsto..

Nel caso peggiore che la sequenza non sia finita, abbiamo \[ \sum_{i\in \mathbb{N}}{\frac{1}{\text{lcm}(a_i,a_{i+1})}}=\sum_{i\in \mathbb{N}}{\frac{\text{gcd}(a_i,a_{i+1})}{a_{i+1}-a_{i}}(a_i^{-1}-a_{i+1}^{-1})} \le \sum_{i\in \mathbb{N}}{(a_i^{-1}-a_{i+1}^{-1})} \le a_0^{-1} \]

[Gottinger95]

Per massimizzare la somma, bisogna minimizzare i lcm.
Fissato \(a_k\), il miglior \(a_{k+1}\) da scegliere è \(2a_k\), per cui si ha \(lcm(a_k, a_{k+1}) = 2a_k\). Dimostriamo che è il migliore possibile.
Dall'identità \(lcm(a,b)\cdot gcd(a,b) = ab\), si ottiene \(lcm(a_k,a_{k+1}) = \displaystyle \frac{a_ka_{k+1}}{gcd(a_k,a_{k+1})}\).
Per ottenere un risultato migliore di \(lcm(a_k,a_{k+1}) = 2a_k\), si dovrebbe avere \(gcd(a_k,a_{k+1}) = a_{k+1}\); ma questo è impossibile, perchè \(a_{k+1} > a_k \rightarrow a_{k+1} \nmid a_k\).
Dunque fissato \(a_0\), la sequenza migliore è \(a_i = 2^i a_0\) per ogni \(i=1,\ldots,n\). Naturalmente la scelta che minimizza i lcm è \(a_0=1\), il minimo possibile. Si ha che:
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}{\frac{1}{lcm(a_i,a_{i+1})}} \leq \sum_{i=0}^{n-1}{\frac{1}{lcm(2^i,2^{i+1})}} = \sum_{i=0}^{n-1}{\frac{1}{2^{i+1}}} = \sum_{i=1}^n{\frac{1}{2^i}} < 1\)
L'ultima disequazione segue dal fatto che quella somma lì tende a 1 per n che va a infinito, ossia per una sequenza finita di numeri è strettamente minore di 1.

[Gottinger95]

Oddio youn abbiamo postato la stessa soluzione contemporaneamente! xD
A Jordan (soluzione meravigliosa ): probabilmente è una cavolata, ma non mi è chiara l'ultima disequazione \(\displaystyle \sum_{i\in\mathbb{N}}{a_i^{-1} - a_{i+1}^{-1}} < a_0^{-1}\).
Me la potresti spiegare?

[jordan]

\(\displaystyle \sum_{i\in\mathbb{N}}{a_i^{-1} - a_{i+1}^{-1}} < a_0^{-1}\).
Me la potresti spiegare?

E' una somma telescopica: visto che la sequenza è strettamente crescente allora $a_m \ge m$ per ogni intero positivo $m$, per cui
\[ \sum_{i=0}^{n-1}{a_i^{-1} - a_{i+1}^{-1}} = (a_0^{-1}-a_1^{-1})+(a_1^{-1}-a_2^{-1})+...+(a_{n-1}^{-1}-a_n^{-1})=a_0^{-1}-a_n^{-1} \le a_0^{-1}-n^{-1} \]
Prendi $n$ abbastanza grande, e hai risolto

[ma_go]

\[ \sum_{i\in \mathbb{N}}{\frac{1}{\text{lcm}(a_i,a_{i+1})}}=\sum_{i\in \mathbb{N}}{\frac{\text{gcd}(a_i,a_{i+1})}{a_{i+1}-a_{i}}(a_i^{-1}-a_{i+1}^{-1})} \le \sum_{i\in \mathbb{N}}{(a_i^{-1}-a_{i+1}^{-1})} = a_0^{-1} \]

spettacolo.
(mi sono permesso di cambiare un \le con un = nella citazione)