OliForum Matematico

Dimostrare che, preso un triangolo ottusangolo, è possibile costruire una circonferenza tale che ogni vertice del triangolo è il polo della retta passante per gli altri due vertici. Dimostrare inoltre che, invertendo rispetto alla circonferenza trovata, la circonferenza circoscritta al triangolo viene mandata nella sua circonferenza di Feuerbach.

Non so perché ma l'ho trovato "fucking awesome" e quindi lo brucio (e poi è un periodo buono per bruciare i problemi questo)...

Noto anzitutto che se per esempio $A$ è polo di $BC$ rispetto ad una circonferenza di centro $X$, allora si deve avere che, detto $H_A$ il piede dell'altezza da $A$ a $BC$, $H_A, A$ e $X$ devono essere allineati: ne deriva che il centro dell'ipotetica circonferenza è l'ortocentro di $ABC$ e che gli inversi dei vertici vanno nei piedi delle altezze dei corrispettivi vertici. Da ciò deriva che se dimostro che tale circonferenza esiste, anche il punto due è fatto poichè la circonferenza passante per $A,B,C$ va nella circonferenza passante per $H_A, H_B$ e $H_C$ che è appunto quella di Feuerbach. Non resta da dimostare che esiste effettivamente questa circonferenza.
Affinchè ciò accada si deve avere che esista un raggio $r$ tale che

$H_CH\cdot HC =r^2$ (1)
$H_AH\cdot HA = r^2$ (2)
$H_BH\cdot HB = r^2$ (3)

è sufficiente che dimostri che la (1) e la (2) valgono contemporaneamente affinchè con ragionamenti analoghi si possa dire dimostrato il fatto che tutte e tre le equazioni ammettono un valore di $r$ per cui valgono simultaneamente e quindi la circonferenza esiste.
Ma siccome $H_CH = HA\sin{\gamma}$ (dove si è dato per ottenuto con un semplice angle-chasing che $\displaystyle \hat{AHH_C} = \frac{\pi}{2} - \gamma$) e $\displaystyle HC = \frac{HH_A}{\sin{\gamma}}$, si ha che $(1) = H_CH\cdot HC = HA\sin{\gamma} \cdot \frac{HH_A}{\sin{\gamma}} = HA \cdot HH_A = (2)$ da cui la tesi.

Esatto, inoltre è facile notare che questa proprietà vale solo per triangoli ottusangoli