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Sia ABC un triangolo, P il piede dell'altezza da C, H l'ortocentro, O il circocentro, D l'intersezione tra OC e AB e E il punto medio di CD. Trovare il rapporto con cui viene diviso il segmento OH dal segmento EP.

La mia prima dimostrazione da normalista..!

Sia $H'$ il simmetrico di $H$ rispetto a $P$: abbiamo $OC=OH'$ (è noto che $H'$ giace sulla circonferenza circoscritta) e $EC=EP$ (perché $CPD$ è rettangolo), da cui segue $EP//OH' \Rightarrow CP:PH'=CE:EO$
Detta $M$ l'intersezione tra $EP$ e $OH$, si ha ovviamente che $E,M,P$ sono allineati, perciò, applicando Menelao su $COH$, deve risultare $\dfrac{CP}{PH} \cdot \dfrac{HM}{MO} \cdot \dfrac{OE}{EC}=-1$ (considerando i segmenti orientati) inoltre abbiamo $PH=-PH'$, per cui si ritrova la proporzione trovata in precedenza e rimane $\dfrac{HM}{MO}=1 \Rightarrow M$ è il punto medio di $OH$

Esatto xD e complimenti per la normale (a me fisica è stata un disastro completo)