Il cerchio del Sire

[Tess]

Ispirato da un recente problema di Ido Bovski (anche se non credo che centri molto ...)

Dati $2n+3$ punti nel piano, a 4 a 4 non conciclici (in teoria alcuni di loro possono anche stare allineati), dimostrare che esiste una circonferenza per 3 di essi che divide gli altri: $n$ all'interno, $n$ all'esterno.

[<enigma>]

Dimostrare che esistono almeno $\displaystyle \frac 1 3 \binom {2n+3}{2}$ circonferenze con la proprietà descritta nel testo.

[Tess]

Dimostrare che esistono almeno...

Può essere che non ce ne siano altre?

[<enigma>]

Può essere che non ce ne siano altre?

Sì

[Gottinger95]

Induzione su \(n\). Abbiamo \(2(n-1)+3\) punti nel piano ed esiste una circonferenza \(\gamma\) per \(A_1, A_2, A_3\) tale che ho \(n-1\) punti dentro e altrettanti fuori. Se i due punti nuovi mi capitano uno dentro e uno fuori, sono apposto. Se entrambi i punti sono dentro (fuori), allora mi basta fissare \(A_1, A_2\) e far diminuire (aumentare) con continuità il raggio di \(\gamma\) finchè non incontro un nuovo punto \(B\); la mia nuova circonferenza sarà \(A_1, A_2, B\), che soddisfa le ipotesi. Sono certo che incontrerò un solo punto \(B\), perchè se ne incontrassi due contemporaneamente allora avrei 4 punti conciclici, che contraddice l'ipotesi iniziale.