Due polinomi coprimi.

[jordan]

Mostrare che se $f$ è un polinomio non costante a coefficienti interi, allora ha tutte le radici distinte se e solo se è coprimo con $f^\prime$.

Ps. Se $f(x)=\sum_{i=0}^d{\alpha_ix^i}$ allora $f^\prime(x)=\sum_{i=0}^{d}{i\alpha_i x^{i-1}}$.

[Tess]

Ecco il pretesto per ricordare l'esistenza del cosiddetto "test della derivata"...
Esorto chiunque abbia almeno una vaga idea di che cosa siano le derivate a fare questo problema!

[LudoP]

E supponiamo che invece si parli di polinomi a coefficienti nelle classi di resto modulo $ p, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $: vale ancora? Se no, per quali polinomi non vale piu`?

[Triarii]

Ci provo, ma essendomi avvicinato da poco alle derivate molto probabilmente starò tirando una cavolata (anche perchè non sto usando una ipotesi, il che è molto molto sospetto)

Testo nascosto:

Dimostriamo che ora che se $ f(x) $ha tutte le soluzioni distinte, allora è coprimo con $ f'(x) $.
Supponiamo per assurdo che i due polinomi non siano coprimi. Allora questi condividono almeno una soluzione $ a $. Vale quindi che $ f(a)=f'(a)=0 $. Ciò significa che il $ f(x) $ è tangente all'asse $ x $ nel punto di ascissa $ a $. Ma la tangenza implica che esistono in quel punto almeno 2 soluzioni coincidenti, che è assurdo alla luce dell'ipotesi.
Dimostria ora che se $ f'(x) $ e $ f(x) $ sono coprimi, allora $ f(x) $ ha tutte le soluzioni distinte. Le soluzioni coincidenti si hanno quando $ f(x) $ è tangente all'asse $ x $, quindi quando la derivata prima si annulla in quel punto. Ma visto che la derivata prima non si annulla mai nello stesso punto di quando si annulla $ f(x) $, allora quest'ultima non è mai tangente all'asse $ x $, quindi non ha mai soluzioni coincidenti.

Chiedo scusa se ho scritto cavolate, che ripeto, mi sembra molto probabile visto che non uso il fatto dei coefficienti interi.

[EvaristeG]

Il fatto è che dare per buono "tange l'asse x se e solo se ha radici coincidenti" è in buona sostanza come dare per buono il problema! Tutta la difficoltà sta nel relazionare un concetto "analitico" come la derivata con un concetto algebrico come quello delle radici multiple.

[fph]

Chiedo scusa se ho scritto cavolate, che ripeto, mi sembra molto probabile visto che non uso il fatto dei coefficienti interi.

Non preoccuparti di questo -- quell'ipotesi non serve.
(Anzi, confonde un po' le idee perché rende meno chiaro cosa vuol dire "coprimo" in questo contesto)

Piuttosto, l'osservazione di EvaristeG è corretta --- stai solo girando attorno al problema. Cerca una soluzione algebrica; con le derivate in quel modo ti mangi la coda.

[maurizio43]

Sistemato il LaTeX - EG
Se non vado errato , se si conosce qualcosina sulle derivate la dimostrazione sembrerebbe facile .

Per esempio la condizione necessaria <solo radici distinte> perché il polinomio $p(x)$ di grado n sia coprimo con la sua derivata $p'(x)$ è banale :

Nel caso di almeno una radice multipla $a$ , (con ordine di molteplicità $k$) $p(x)$ si puo’ considerare pari al prodotto di un polinomio $q(x)$ di grado $n-k$ per la potenza $k$-esima di $(x-a)$ , cioè :
$$p(x) = q(x)\cdot (x-a)^k$$
Per la regoletta della derivata di un prodotto di funzioni
$$p'(x) = q'(x)\cdot(x-a)^k + q(x)\cdot(x-a)^{k-1}$$
ovvero :
$$p'(x) = (x-a)^{k-1}[q'(x)(x-a) + q(x)]$$
Quindi $p(x)$ e $p'(x)$ avendo in comune il fattore $(x-a)^{k-1}$ non sono coprimi .

Eccetera...

[EvaristeG]

Off topic, ma dovuto.
@maurizio43: Questo forum ha il supporto LaTeX, quindi basta scrivere, ad esempio

Codice: Seleziona tutto

$(x-a)^{k-1}$

per ottenere $(x-a)^{k-1}$.
E se si vuole una formula in mezzo alla pagina e non nel testo, basta raddoppiare i dollari

Codice: Seleziona tutto

$$(x-a)^{k-1}$$

per avere
$$(x-a)^{k-1}.$$

Per imparare il LaTeX, puoi guardare nel subforum LaTeX, questo sconosciuto o cercare online. Passando il mouse sulle formule, nella maggior parte dei browsers dovresti poter visualizzare il codice come alt-text.

Inoltre, in generale, se si risponde ad un problema è meglio dare una soluzione completa nel caso la si conosca. Lasciare "i dettagli" o "il resto" agli altri utenti di solito fa sì che nessuno poi abbia voglia di finire.

[maurizio43]

Ringrazio EvaristeG per le migliorie apportate alla grafica della mioa esposizione, che effettivamente ne è uscita più pregevole .
La mia proverbiale pigrizia mi ha sempre spinto a rimandare di volta in volta lo studio di LaTeX.
Non mi sono reso conto che scrivere in un formalismo simile al FORTRAN tre striminzite formulette avrebbe disturbato significativamente la leggibilità.
Ne prendo atto e mi acculturerò sul LaTeX , come mi hai pazientemente indicato.
Circa la seconda parte della soluzione del quesito, mi chiedeva un p0' più di fatica e molto formalismo grafico in più, e mi sono fermato.
Però mi era sembrato, leggendo qua e là sul forum, che ci fosse spesso una certa, voluta, dinamica di interazione tra i diversi interventi,
con scambio di informazioni e “dritte”. Avrò capito -tanto per cambiare- male .
Sorry .