Data la mia grande ignoranza in materia, mi scuso in anticipo se la domanda è totalmente priva di senso.
Detta \(\displaystyle \omega(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\) una trasformazione di Moebius, si può dire qualcosa in generale di una \(f(x)\) commutativa rispetto a \(\omega\), ossia tale che \(\omega(f(x)) = f(\omega(x))\)? E se così non se ne può cavar nulla, cambia qualcosa se aggiungo l'ipotesi che \(\omega^n(x) = x\) per qualche \(n\) ?
Lo chiedo perchè mi è capitato spesso nelle funzionali di arrivare a qualcosa di simile. Griizie
Che so, per esempio (ma è stupido e inutile, per questo invoco l'aiuto di qualcuno) usando il fatto che \(\omega(0) = b/d\), si ha:
\( \frac{af(0)+b}{cf(0)+d} = f(b/d) \ \ \Rightarrow \ \ \ f(0)[a-cf(b/d)] = df(b/d) - b\)
che unito a \(f(0) = 0\) dà \(f(b/d) = b/d\) (ribadisco, piuttosto inutile). E insomma, non volevo dirlo perchè ho paura di sparare una stronzata galattica, ma sospetto che una \(f\) del genere debba essere lineare.
Beh mi sembra difficile che $f$ sia lineare (a meno che non sia l'identità): considera
$$\omega(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$$
se $f$ fosse lineare, sarebbe surgettiva, ora prendi $x_0$ tale che $f(x_0)=-d/c$ e hai
$$\omega(f(x_0))=f(\omega(x_0))$$
ovvero
$$+\infty=f\left(\frac{ax_0+b}{cx_0+d}\right)=\alpha\frac{ax_0+b}{cx_0+d}+\beta$$
(perché $f$ è lineare e dunque della forma $x\mapsto \alpha x+\beta$) ma allora deve succedere che
$$\frac{ax_0+b}{cx_0+d}=+\infty$$
ovvero $x_0=-d/c$.
Ma allora
$$f(-d/c)=-d/c$$
Inoltre, $f(+\infty)=+\infty$ (passatemi la notazione) e dunque (per continuità...) $\omega(f(+\infty))=a/c$, da cui $f(\omega(\infty))=a/c$, dunque $f(a/c)=a/c$ e dunque $f(x)=x$ (lineare con due punti fissi).
L'alternativa è che $c=0$ e dunque $\omega(x)=a'x+b'$. Allora
$$\omega(f(x))=a'\alpha x + a'\beta + b'=f(\omega(x))=\alpha a' x+\alpha b' + \beta$$
da cui
$$a' \beta + b'=\alpha b' + \beta$$
ovvero
$$b'(1-\alpha)=\beta(1-a')$$
$$\frac{b'}{1-a'}=\frac{\beta}{1-\alpha}\;.$$
Ovvero $f$ e $\omega$, oltre ad essere entrambe lineari, devono avere lo stesso punto fisso.
Ok, è poco in topic, ma tanto ... $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$
Allora, una trasformazione di Moebius non è altro che un'affinità XD
Considera la seguente funzione: $p:\R^2\setminus\{(0,0)\}\to\R\cup\{\infty\}$ data da $p(x,y)=x/y$ (con la convenzione che $p(x,0)=\infty$) ed anche la funzione
$u:\R\cup\{\infty\}\to\R^2$ data da $u(x)=(x,1)$ e $u(\infty)=(1,0)$.
Ovviamente $p(u(x))=x$ e $u(p(x,y))=\lambda(x,y)$ per qualche $\lambda\in\R^*$; inoltre anche $p(\lambda x, \lambda y)=p(x,y)$.
Ora, prendiamo una generica affinità che fissi l'origine $f:\R^2\to\R^2$ con $f(x,y)=(ax+by, cx+dy)$. Allora intanto notiamo che, per linearità,
$$f(\lambda x, \lambda y)=\lambda f(x,y)$$
e poi
$$\omega(x)=p(f(u(x)))=\frac{ax+b}{cx+d}$$
è una trasformazione di Moebius.
Dalle proprietà esposte sopra, è chiaro che $\omega^n(x)=p(f^n(u(x)))$ e $p(f^n(u(x)))=x$ se e solo se $f^n(u(x))=\lambda u(x)$ per qualche $\lambda$ per ogni $x$. Ovvero se e solo se $f^n(x,y)=\lambda (x,y)$ per ogni $(x,y)$.
Si può mostrare che questo succede se e solo se esistono una rotazione $R_{\theta}$ e un'altra affinità $g$ tali che
$$f(x,y)=g^{-1}(R_{\theta}(g(x,y)))$$
con $\theta$ tale che $n\theta\equiv 0,\pi \bmod 2\pi$.
Contento?
Ho gli occhi che mi luccicano, anche se non ho capito bene il se e solo se finale. Tenterò di arrivarci da solo dopo che avrò ripassato un po' di geometria
Grazie per la spiegazione
