Variazione sui segmenti

[Triarii]

Premetto che l'ho inventato io quindi magari è poco interessante oppure la mia soluzione è sbagliata o altro.

Siano dati n segmenti $ A1B1,...,AnBn $ nel piano di lunghezza unitaria,con $ n≥3 $.I segmenti si possono spostare con questo tipo di mossa: si sceglie un segmento $ AiBi $ e un suo vertice $ V $, poi si ruota rigidamente A_iB_i attorno a V di un angolo a piacere fino ad una nuova posizione.
Si mostri che, qualsiasi sia la configurazione iniziale, con un numero finito di mosse si può costruire un poligono regolare di $ n $lati.

[maurizio43]

Probabilmente non ho capito bene l' enunciato, ma per come lo ho interpretato io ci sarebbe una soluzione
abbastanza semplice per via geomentrica :
1°) Considero dapprima i primi 2 segmenti A1 B1 e A2 B2 comunque disposti sul piano
2°) Con centro in B1 traccio la circonferenza " c " di raggio A1 B1
3°) Ruoto il segmento A2 B2 attorno ad A2 fino a fargli assumere la direzione individuata da A2 B1
4°) Lungo tale direzione eseguo tante rotazioni di 180° di A2 B2 (ovviamente di volta in volta attorno all' estremo
che si viene a trovare più vicino a B 1) fino a quando, durante la rotazione, la circonferenza descritta dall' estremo
ruotante di A2 B2 viene ad intersecare la circonferenza " c " in un punto che chiameremo P
5°) Ruoto A1 B1 attorno a B1 fino a far coincidere A1 con P
6°) A questo punto i 2 segmenti A1 B1 e A2 B2 sono consecutivi e ruoto ancora uno dei due attorno all' estremo comune,
fino ad ottenere un angolo pari all' angolo interno del poligono desiderato
7°) Considero il segmento A3 B3 e ripeto gli stessi movimenti nei confronti del segmento A2 B2
8°) Eccetera
Ne risulterà un poligono regolare di n lati ottenuto evidentemente con un numero finito di movimenti

[Triarii]

Il metodo con cui unisici 2 segmenti dovrebbe funzionare. Però il fatto è che continuando il tuo procedimento, ti si staccano anche i segmenti che hai già attaccati se non sbaglio (ruoti entrambi i segmenti coinvolti nel tuo procedimento mi pare di aver capito)

[maurizio43]

E' vero.
In realtà al punto 5° dovevo far ruotare ancora A2 B2 (e non A1B1) attorno all' estremo coincidente con P
fino a far coincidere l' altro estremo col centro B1 della circonferenza originaria.
Poi al punto 6 devo ruotare non uno dei 2 segmenti bensì il segmento A2 B2 fino ad ottenere l' angolo interno del poligono.
Così facendo i movimenti sono ogni volta riservati al nuovo segmento preso in considerazione .

P. S. : Se adottiamo come unità di misura di lunghezza la lunghezza dei segmenti dati, e se esprimiamo
secondo tale unità di misura le distanze d dei vari baricentri dei segmenti dal baricentro del primo,
possiamo dare una stima approssimativa del numero finito m dei movimenti complessivamente compiuti :
m = 3(n-1) + d2 +d3+...+dn [circa a meno di n-1 per mancate ultime rotazioni di 180°]