SNS 2007/2008 problema 4
SNS 2007/2008 problema 4
Un gioielliere vuole imballare 3 bocce di cristallo di forma sferica e di diametro di 10 cm; ha trovato una scatola a forma di parallelepipedo di lati 16 cm x 16 cm x 20 cm. Dite, motivando la risposta, se è possibile far stare le 3 bocce nella scatola.
Che la Forza sia con voi.
Re: SNS 2007/2008 problema 4
Avevo provato a fare questo problema un po' di tempo fa, senza troppo successo. =)
Tuttavia l' idea che forse è utile è questa: se ci stessero i centri delle tre sfere dovrebbero stare dentro una scatola 6 cm x 6 cm x 10 cm e dovrebbero essere distanziati l' uno dall' altro almeno 10 cm. Facendo un po' di conti sulle configurazioni ciò sembra impossibile (mi sembra si ottenga al più un triangolo con due lati maggiori di dieci e uno uguale a radice di novantasette) ma una dimostrazione rigorosa di quest' ultimo fatto non l' avevo trovata.
Tuttavia l' idea che forse è utile è questa: se ci stessero i centri delle tre sfere dovrebbero stare dentro una scatola 6 cm x 6 cm x 10 cm e dovrebbero essere distanziati l' uno dall' altro almeno 10 cm. Facendo un po' di conti sulle configurazioni ciò sembra impossibile (mi sembra si ottenga al più un triangolo con due lati maggiori di dieci e uno uguale a radice di novantasette) ma una dimostrazione rigorosa di quest' ultimo fatto non l' avevo trovata.
Spargi il defoliante
sulla cassa dirigente
[anonimo]
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Re: SNS 2007/2008 problema 4
Come detto prima i tre centri devono stare in un rettangolo 6x6x10 e devono avere distanza maggiore o uguale a 10.
Dividiamo questo "parallelepipedino" in due "parallelepipedinini" di 6x6x5, la distanza massima all'interno di queste figure è di radice di 97 (provare per credere
) che è strettamente minore di 10. Pertanto due centri non potranno stare nello stesso "parallelepipedinino" quindi sarà impossibile riempire la scatola.
Dividiamo questo "parallelepipedino" in due "parallelepipedinini" di 6x6x5, la distanza massima all'interno di queste figure è di radice di 97 (provare per credere
) che è strettamente minore di 10. Pertanto due centri non potranno stare nello stesso "parallelepipedinino" quindi sarà impossibile riempire la scatola.$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
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Gottinger95
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Re: SNS 2007/2008 problema 4
E quindi avendo \(n\) sfere di raggio \(r\) quali parallelepipedi di lati \(a,b,c\) possono contenerlo?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: SNS 2007/2008 problema 4
Beh innanzitutto sottolineo che anche se viene soddisfatta una situazione come la precedente... Quella dei parallelepipedinini per intenderci... Non abbiamo la certezza che effettivamente le sfere ci stiano... In poche parole la mia era una condizione necessaria, ma non sufficiente.
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
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$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
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Gottinger95
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Re: SNS 2007/2008 problema 4
E' vero, è vero, però si può pensare forse in modo più generale al problema inverso: date \(n\) sfere di raggio \(r\), qual'è il parallelepipedo con volume minore che le può contenere tutte?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Re: SNS 2007/2008 problema 4
Ah ecco, mi pareva! 
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture
Quindi il migliore impacchettamento è quello esagonale, ed è stato (quasi) dimostrato solo qualche anno fa...
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture
Quindi il migliore impacchettamento è quello esagonale, ed è stato (quasi) dimostrato solo qualche anno fa...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
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Gottinger95
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Re: SNS 2007/2008 problema 4
Già. Ma le dissertazioni in merito (per ciò che conosco io) sono molto interessanti!
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe